回復 4# 荷荷葩 的帖子
今日練習這份試題,來補一下心臟線這題
填充 6. 以極坐標寫之可得 \( r=6(1+\cos\theta) \)
以原點、曲線上一點和 \( (8,0) \) 為三角形,利用餘弦定理可計算曲線上的點到 \( (8,0) \) 之距離平方
\( \begin{aligned}d(\theta)^{2} & =36(1+2\cos\theta+\cos^{2}\theta)+64-96(\cos\theta+\cos^{2}\theta)\\
& =100-24\cos\theta-60\cos^{2}\theta\\
& =-60(\cos^{2}\theta+\frac{2}{5}\cos\theta+\frac{1}{25})+100+\frac{60}{25}\\
& =-60(\cos\theta+\frac{1}{5})^{2}+\frac{512}{5}.\end{aligned}
\)
所以 \( 16\leq d^{2}\leq\frac{512}{5} \),且在 \( [-1,-\frac{1}{5}] \) 和 \( [-\frac{1}{5},1] \) 皆為單調函數。
\( d(-1)=8 \), \( d(-\frac{1}{5})=\frac{32}{\sqrt{10}}<11 \), \( d(1)=4\)。
從單調性就可數出距離 5-10, 10-9 上下對稱各兩點,及距離 4, 8 x 軸上各一點
因此共 \( 8\times2+2=18 \) 個交點。