發新話題
打印

99南港高工

第 4 題

提示:\(L:x+y-4+m\left(2x+y-7\right)=0\Rightarrow\) 直線 \(L\) 恆通過定點 \(\displaystyle\left\{\begin{array}{ccc}x+y=4\\2x+y=7\end{array}\right.\Rightarrow \left(x,y\right)=\left(3,1\right).\)




第 9 題

P(丟兩粒骰子,其和為\(9\))\(\displaystyle =\frac{4}{36}\)

所求\(\displaystyle=C^4_2\cdot\frac{4}{36}\cdot\frac{14}{36}\)


Note: 先四顆中選出兩顆,使其和為 \(9\),另外的兩顆除了其合不為 \(9\) 之外,也不能跟最初選的兩顆加起來為 \(9.\)

下圖是其中一例,當最先選出兩粒為 \(4,5\) 的情況,圖中紅色處即是後選的兩粒不可以選擇的情況。當然如果一開始選的兩粒是 \(3,6\),會不能選的情況個數還是一樣的。






第 12 題

\(1, 2, 3, 4, 5, 6, ..., 100\)
\(3, 5, 7, 9, 11, ...,199\)
\(8, 12,16,20, ..., 396\)
      :
先觀察共有 \(100\) 列,且每列都是等差數列,

將每列的數列都倒著寫回來,即為
\(100, 99, 98, 97, 96, 95, ..., 1\)
\(199, 197,195,193,191 ..., 3\)
\(396, 392,388,384, ...,8\)
      :

然後將這兩的倒三角形的對應位置加起來,形成新的 100 列的數列,
第一列是 \(101,101,101,....,101\) 共 100 項
第二列是 \(202,202,202,...,202\) 共 99 項
第三列是 \(404,404,404,...,404\) 共 98 項
   :
第100列是 \(101\times 2^{99}\) 共 1 項

所以,題目所求為 \(\displaystyle=\frac{101\times2^{99}}{2}=101\times2^{98}.\)

多喝水。

TOP

第 11 題:將自然數 \(n\) 接在任何一個自然數的右邊,都能被 \(n\) 整除(例如將 \(2\) 接在任何自然數的右邊,均可被 \(2\) 整除),則稱 \(n\) 為魔術數。求小於 \(300\) 的魔術數的個數。


解答:

case i: 先找一位數的 \(n\)

\(\displaystyle n\Big|\left(p\times 10+n\right) \Rightarrow n\Big|p\times 10, \,\forall p\in\mathbb{N}\)

\(\displaystyle \Rightarrow n\Big|10\Rightarrow n\Big|2\cdot5 \Rightarrow n\) 有 \((1+1)(1+1)-1=3\) 個。(正因數扣掉 \(10\) 之後的個數。)


case ii: 再找二位數的 \(n\)

\(\displaystyle n\Big|\left(p\times 100+n\right) \Rightarrow n\Big|p\times 100, \,\forall p\in\mathbb{N}\)

\(\displaystyle \Rightarrow n\Big|100 \Rightarrow n\Big|2^2\cdot5^2 \Rightarrow n\) 有 \((2+1)(2+1)-5=4\)  個。(正因數扣掉 \(4,100\) 與 case i 一位數之後的個數。)


case ii: 再找三位數的 \(n\)

\(\displaystyle n\Big|\left(p\times 1000+n\right) \Rightarrow n\Big|p\times 1000, \,\forall p\in\mathbb{N}\)

\(\displaystyle \Rightarrow n\Big|1000 \Rightarrow n\Big|2^3\cdot5^3\)

且因為 \(n<300\),所以 \(n\) 只有 \(100,125,200,250\),共 \(4\) 個。


故,題目所求的數字共有 \(3+4+4=11\) 個。

多喝水。

TOP

回復 7# 阿光 的帖子

第 6 題

\(0!=1, 1!=1, 2!=2, 3!=6, 4!=24, 5!=120, 6!=720\)

\(7!\) 是四位數,必定爆表!

所以,\(x,y,z\) 三數都不會是 \(7,8,9\) 的任一個

又因為 \(6!=720\),所以如果右邊有 \(6!\),

加起來之後,左邊開頭就有 \(7\) 以上,

所以也 \(x,y,z\) 也不可能出現六~



因為 \(x!+y!+z!\) 加起來是三位數,

且 \(1!,2!,3!,4!\) 可重複使用地任取三個加起來都不會是三位數,

所以右邊必有 \(5!\)

如果右邊只有一個 \(5!\) 的話,

則 \(\overline{xyz}\) 的首位數字 \(x=1\)

然後,\(y=5\) 或 \(z=5\)



再來窮舉就好了!

\(1!+1!+5!=122\) 不合

\(1!+2!+5!=123\) 不合

\(1!+3!+5!=127\) 不合

\(1!+4!+5!=145\Rightarrow x=1,y=4,z=5.\)


如果右邊恰有兩個 \(5!\Rightarrow x=2\Rightarrow 5!+5!+2!=242\) 不合


如果右邊恰有三個 \(5!\Rightarrow 5!+5!+5!=360\) 不合



故, \(x=1,y=4,z=5\) 且 \(x+y+z=10.\)

多喝水。

TOP

回復 9# 阿光 的帖子

是滴,小錯誤已修改。:D

多喝水。

TOP

回復 10# 阿光 的帖子

第 13 題:一個最簡分數等於分母分別為 600 及700 的兩個最簡分數的和,求這樣的最簡分數的分母的最小值。

解答:

依題意令   \(x,y\in\mathbb{N}\) 滿足 \(\displaystyle\frac{x}{600},  \frac{y}{700}\) 皆為最簡分數

觀察 \(\displaystyle \frac{x}{600}+\frac{y}{700}=\frac{7x+6y}{4200}\)



因為 \(\displaystyle\frac{x}{600}\) 為最簡分數,所以 \(x\) 沒有 \(2,3,5\) 的因數

因為 \(\displaystyle \frac{y}{700}\) 為最簡分數,所以 \(y\) 沒有 \(2,5,7\) 的因數





\(4200 = 2^3\times 3\times 5^2\times 7\)

因為 \(7x\) 有 \(7\) 的因數,且 \(6y\) 沒有 \(7\) 的因數,

所以 \(7x+6y\) 被 \(7\) 除時,必無法整除



因為 \(6y\) 有 \(2,3\) 的因數,且 \(7x\) 沒有 \(2,3\) 的因數,

所以 \(7x+6y\) 被 \(2,3\) 除時,必無法整除




討論至此,可以發現分母 \(4200\) 裡面的 \(2,3,7\) 都不可能與分子相消

因此只要費心取適當的 \(x,y\) 使得 \(7x+6y\) 有 \(5^2\) 的因數

使其可以與分母消掉 \(5^2\) 就會有最小的分母了,

在此取 \(\displaystyle x=1,y=3\Rightarrow 7x+6y=25\Rightarrow \frac{7x+6y}{4200}=\frac{1}{168}\)



故,所求分母的最小值為 \(168.\)

多喝水。

TOP

回復 13# 阿光 的帖子

第 14 題:已知函數 \(f(x+1)\) 及 \(f(x−1)\) 都是奇函數,且 \(f(2) = 3\),求 \(f(−50)\) 的值。

解答:

\(f(x+1)\) 為奇函數 \(\Rightarrow f(x+1)=-f(-x+1) \Rightarrow f(x)=-f(-x+2)\)

\(f(x-1)\) 為奇函數 \(\Rightarrow f(x-1)=-f(-x-1)\Rightarrow f(x)=-f(-x-2)\)

因此 \(f(-x+2)=f(-x-2)\)

\(\Rightarrow f(x+2)=f(x-2)\)

\(\Rightarrow f(x)=f(x+4)\)

\(\Rightarrow f(-50)=f(-46)=f(-42)=\cdots=f(-2)=f(2)=3.\)

多喝水。

TOP

回復 15# johncai 的帖子

題目說 \(f(x+1)\) 是奇函數,並不表示 \(f(x)\) 是奇函數,

例如,若 \(f(x+1)=x^3\),則 \(f(x)=(x-1)^3=x^3-3x^2+3x-1\)

此例,即是 \(f(x+1)\) 是奇函數,但 \(f(x)\) 不是奇函數。

多喝水。

TOP

發新話題