2.設\( \overline{AB} \)的長度為d，P是以\( \overline{AB} \)為直徑的半圓上的一個動點，且\( ∠PAB=\theta \)。令\( \overline{PA}+\overline{PB}=x \)
(1)將\( sin^6 \theta+cos^6 \theta \)表示成x的函數。(2)求\( sin^6 \theta+cos^6 \theta \)的最小值，並求此時θ和x的值。
[提示]
\( \displaystyle sin \theta+cos \theta =\frac{x}{d} \)，\( \displaystyle sin \theta \cdot cos \theta=\frac{1}{2} \Bigg(\; \frac{x^2}{d^2}-1 \Bigg)\; \)
令\( f(n)=sin^n \theta+cos^n \theta \)，\( f(n)=(sin \theta+cos \theta)f(n-1)-(sin \theta \cdot cos \theta)f(n-2) \)
\( \displaystyle f(1)=\frac{x}{d} \)，\( f(2)=1 \)
\( \displaystyle f(3)=-\frac{x^3}{2d^3}+\frac{3x}{2d} \)
\( \displaystyle f(4)=-\frac{x^4}{2d^4}+\frac{x^2}{d^2}+\frac{1}{2} \)
\( \displaystyle f(5)=-\frac{x^5}{4d^5}+\frac{5x}{4d} \)
\( \displaystyle f(6)=-\frac{3x^4}{4d^4}+\frac{3x^2}{2d^2}+\frac{1}{4} \)
7.請問\( 0.9<0.\overline{9}<1 \)嗎？並請說明。
[提示]
我們教出的學生說\( 2.\overline{9} < 3 \)
http://www.google.com/search?cli ... a&ie=utf-8&oe=utf-8
8.(2)設n為大於1的自然數，證明\( \displaystyle (n!)^3<n^n \Bigg(\; \frac{n+1}{2} \Bigg)\; ^{2n} \)
[解答]
\( \displaystyle n!< \Bigg(\; \frac{n+1}{2} \Bigg)\; ^n \)
(98南港高工)
http://www.artofproblemsolving.com/Forum/viewtopic.php?t=342782
\( \displaystyle n!< \Bigg(\; \frac{n+1}{2} \Bigg)\; ^n \)
\( \displaystyle n!< \Bigg(\; \frac{n+1}{2} \Bigg)\; ^n \)
\( \displaystyle n!<n^n \)
三式相乘
9.何謂「母體標準差」？何謂「樣本標準差」？請問你如何向學生說明「母體標準差」與「樣本標準差」這兩者公式為何不同？
[提示]
從標準差除以 n 或除以 n - 1 談起
https://math.pro/db/thread-398-1-3.html
http://www.google.com/search?cli ... a&ie=utf-8&oe=utf-8
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本帖最後由 bugmens 於 2010-6-26 11:16 PM 編輯 ]
