引用:

原帖由 nathan 於 2011-6-21 06:00 PM 發表
可以給點提示嗎??
我用正弦定理  求出\(\overline{CD}\)  與\(\overline{BC}\)的關係
但是無法證明

提供兩個代數方法來處理
法1:
假設AC=x,CD=y,CB=z ,BD=a,AD=b (事實上,a=b)
由面積公式可得四邊形ADBC面積=(1/2)*x*y*sin(45度)+(1/2)*y*z*sin(45度)=(1/4)*2^0.5*y*(x+z)----------------(1)
在三角形ACD中,由餘弦定理得b^2=x^2+y^2-2xy*cos(45度)=x^2+y^2-2^0.5*xy-------------(2)
在三角形CDB中,由餘弦定理得a^2=y^2+z^2-2yz*cos(45度)=y^2+z^2-2^0.5*yz-------------(3)
(2)+(3)得b^2+a^2=x^2+2*y^2+z^2-2^0.5*y(x+z) 化簡得 2y^2=2^0.5*y(x+z)  (因為b^2+a^2=x^2+z^2)
所以 x+z =2^0.5*y-------------(4)
將(4)代入(1)可得所求=(1/2)*y^2=(1/2)*CD^2

[ 本帖最後由 Ellipse 於 2013-2-12 10:08 PM 編輯 ]

引用:

原帖由 nathan 於 2011-6-21 06:00 PM 發表
可以給點提示嗎??
我用正弦定理  求出\(\overline{CD}\)  與\(\overline{BC}\)的關係
但是無法證明

法2:   (其實做法大同小異)
承法1假設,又易知AD=BD,且OD垂直AB
連接OC,令OC=OA=OB=OD=r,角COB=θ,
四邊形ADBC面積=三角形ADB面積+三角形AOC面積+三角形COB面積
=(1/2)*(2r)*r+(1/2)*(r^2)*sin(180度-θ)+(1/2)*(r^2)*sin(θ)=r^2+r^2*sin(θ)---------------(1)
在三角形COD中,由餘弦定理得y^2=r^2+r^2-2*r*r*cos(90度+θ)=2*r^2+2*r^2*sin(θ)
所以r^2+r^2*sin(θ)=(1/2)*y^2------------(2)
將(2)代入(1),可得所求=(1/2)*y^2=(1/2)*CD^2

[ 本帖最後由 Ellipse 於 2013-2-12 10:12 PM 編輯 ]