師大附中有公佈（填充題）題目跟答案了，

真希望其他學校以後也能多多跟進！＝＝

引用:

原帖由 witz 於 2010-5-13 01:25 AM 發表
想請問計算題題目為何?有好心人可以提供嗎?
另外,填充第七題如何解題?謝謝.

填充第七題

\(\displaystyle\left\{\begin{array}{cc} 3f(x)-2f\left(\frac{1}{x}\right)-\frac{5}{x}=0\\ 3f\left(\frac{1}{x}\right)-2f(x)-5x=0\end{array}\right.\)

兩式消去 \(\displaystyle f\left(\frac{1}{x}\right)\)，可解得 \(\displaystyle f(x)=\frac{2x^2+3}{x}\)，

令 \(\displaystyle y=\left(\frac{2x^2+3}{x}\right)^2\Rightarrow 4x^4+\left(12-y\right)x^2+9=0\)

因為 \(x^2\in\mathbb{R}\)，

所以 \(\left(12-y\right)^2-4\times 4\times 9\geq0\Rightarrow y\geq24 \mbox{ 或 } y\leq0 \mbox{(不合，因為 } y=x^2 \mbox{ 且 } x \mbox{ 有在分母)}\)

且當 \(y=24\) 時，可解得 \(\displaystyle x=\pm\sqrt{\frac{3}{2}}.\)

故，\(f^2(x)\) 的最小值為 \(24.\)


註：感謝 waitpub 於後方回覆提醒我的計算錯誤！ ^__^

google 搜尋 "e irrational" 就有很多筆證明了，

以下挑當中的第一筆搜尋結果，改寫成中文。


證明：

已知 \(\displaystyle e=1+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+\frac{1}{4!}+\cdots\)‧‧‧‧‧‧（＊）

假設 \(\displaystyle e=\frac{p}{q}\)，其中 \(p,q\) 都是正整數.

將 （＊）左右同乘 \(q!\) ，可得

\(\displaystyle q!\, e = q!+\frac{q!}{1!}+\frac{q!}{2!}+\frac{q!}{3!}+\cdots+\frac{q!}{q!}+\mbox{其它的項和}\)

因為 \(\displaystyle e=\frac{p}{q}\)，所以 \(q!\,e\) 是整數.

且 \(\displaystyle q!+\frac{q!}{1!}+\frac{q!}{2!}+\frac{q!}{3!}+\cdots+\frac{q!}{q!}\) 也是整數.

然而，

兩者當中相差的〝其它的項和〞

\(\displaystyle R=\frac{q!}{\left(q+1\right)!}+\frac{q!}{\left(q+2\right)!}+\frac{q!}{\left(q+3\right)!}+\cdots\)

\(\displaystyle =\frac{1}{q+1}+\frac{1}{(q+1)(q+2)}+\frac{1}{(q+1)(q+2)(q+3)}+\cdots\)

\(\displaystyle <\frac{1}{q+1}+\frac{1}{(q+1)^2}+\frac{1}{(q+1)^3}+\cdots\)

\(\displaystyle =\frac{\frac{1}{q-1}}{1-\frac{1}{q-1}}=\frac{1}{q}.\)

\(\displaystyle \Rightarrow 0<R<\frac{1}{q}\) ，得 \(R\) 非整數，矛盾.

故，\(e\) 非有理數.

第 6 題：

題目：

已知 \(\displaystyle\sum_{k=1}^{10}a_k=24\) 且 \(\displaystyle\sum_{k=1}^{10}a_k^2=64\)；若 \(a_1,a_2,\ldots,a_{10}\) 均為實數，則 \(a_1\) 的最大值為_________。


解答：

\(\displaystyle\left\{\begin{array}{ccc}a_2+a_3+\cdots+a_{10}&=&24-a_1\\a_2^2+a_3^2+\cdots+a_{10}^2&=&64-a_1^2\end{array}\right.\)

由科西不等式，可得

\(\displaystyle \left(a_2+a_3+\cdots+a_{10}\right)^2\leq\left(a_2^2+a_3^2+\cdots+a_{10}\right)\left(1^2+1^2+\cdots+1^2\right)\)

\(\displaystyle\Rightarrow \left(24-a_1\right)^2\leq9\left(64-a_1^2\right)\)


可解得 \(a_1\) 的範圍.

一時眼花，已修正，感謝您幫我抓出錯誤～