小弟也曾試著直接去推敲,
也是發現如上文中的 \(\displaystyle a_n=\sum_{k=0}^{\left[n/3\right]} \left(-1\right)^k C^{n-2k}_{k} 3^{n-3k} \),
然後想到分成 \(\pmod{2},\;\pmod{3}\)去討論。
1. 對於 \(\pmod{3}\) 的部分: \(\displaystyle a_n \not\equiv 0\pmod{3}\;\Leftrightarrow\;3\Big| n.\)
2. 對於 \(\pmod{2}\) 的部分: \(\displaystyle a_n\equiv\sum_{k=0}^{\left[n/3\right]} C^{n-2k}_{k} \pmod{2} \) ,再來就沒蝦咪頭緒了。