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證\(<\sqrt[n]{n}>_{n=3}^\infty\) 是遞減的數列

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回復 1# weiye 的帖子

請問老師
關於類似的練習題(1)
目前只想到利用x>0時,\( \frac{1}{1+x} > \frac{1}{(1+x)^{2}}  \)  
故\( \int_  \frac{1}{1+x}  dx > \int_  \frac{1}{(1+x)^2}   dx  \)  
得\( ln(1+x)> \frac{x}{(1+x)}  \)  

這樣的作法對嗎?有沒有更直觀的方法?

[ 本帖最後由 CyberCat 於 2016-5-9 12:01 PM 編輯 ]

看來豈是尋常色   濃淡由他冰雪中

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回復 6# weiye 的帖子

感謝weiye老師解惑並點出我的錯誤
想確認知道自己的錯誤,是不是錯在不定積分的部份?
如果是相同的上下限作定積分(a<b)從a積到b,這樣不等式成立嗎?
可以改成做定積分0至v,其中v>0,使的不等式成立,這樣寫適合嗎?

也謝謝7樓的C大提供一樓題目的另一個解法
巧妙的使用 當 \(n\geq3 \)時 n > \( \ (n-1)+\frac{2}{\sqrt{n+1}}  \)  作為不等式中間的媒介
將 \( (n+1)^{\frac{n+1}{n}} \) 拆成n-1個n+1跟2個\( \sqrt{n+1} \) 的想法,真的很有趣

[ 本帖最後由 CyberCat 於 2016-5-14 01:48 AM 編輯 ]

看來豈是尋常色   濃淡由他冰雪中

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