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證\(<\sqrt[n]{n}>_{n=3}^\infty\) 是遞減的數列

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證\(<\sqrt[n]{n}>_{n=3}^\infty\) 是遞減的數列

求證數列 \(<\sqrt[n]{n}>_{n=3}^\infty\) 是遞減的數列。




先分析一下

題目要求證,對任意正整數 \(n\geq 3\),恆有

\(\displaystyle n^{\frac{1}{n}}>(n+1)^{\frac{1}{n+1}} \Leftrightarrow  \ln\left( n^{\frac{1}{n}}\right)>\ln\left((n+1)^{\frac{1}{n+1}}\right) \Leftrightarrow \frac{1}{n}\cdot \ln\left(n\right) > \frac{1}{n+1} \ln\left(n+1\right)\)





證明:

令 \(\displaystyle f(x)=\frac{\ln\left(x\right)}{x}\),則

\(\displaystyle f'(x)=\frac{\frac{1}{x}\cdot x - \ln\left(x\right)\cdot 1}{x^2} = \frac{1-\ln\left(x\right)}{x^2}\)

因此對任意 \(x>e\),恆有 \(f'(x)<0\),

所以 \(f(x)\) 在 \(x>e\) 時為遞減函數,

故 \(f(3)>f(4)>f(5)>\cdots\),

亦即數列 \(<\sqrt[n]{n}>_{n=3}^\infty\) 是遞減的數列。











相似的練習題:(來源出處:林信安老師 → 一般課程 → 微積分講義 → 指對數函數的微分積分
例題 5.
  (1) 若 \(x>0\),試証 \(\displaystyle \ln\left(1+x\right)>\frac{x}{1+x}\) 。

  (2) 當 \(x>0\) 時,試討論 \(\displaystyle f(x)=\frac{\ln\left(1+x\right)}{x}\) 的增減情形。

  (3) 若 \(0<a<b\),試比較 \(\displaystyle \left(1+a\right)^b\) 與 \(\displaystyle \left(1+b\right)^a\) 之大小。

另外,其綜合練習部分也有類題。

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回復 2# best2218 的帖子

第三小題要 "利用" 第二小題的結果,

不是 "仿照" 前兩小題的方法。



由第二小題「結果」,可知當 \(x>0\) 時,\(\displaystyle f(x)=\frac{\ln\left(1+x\right)}{x}\) 為嚴格遞減函數。

即當 \(0<a<b\) 時,恆有 \(\displaystyle \frac{\ln\left(1+a\right)}{a}>\frac{\ln\left(1+b\right)}{b}\)

           \(\displaystyle \Leftrightarrow b\ln\left(1+a\right)>a\ln\left(1+b\right)\)

           \(\displaystyle \Leftrightarrow \ln\left(1+a\right)^b>\ln\left(1+b\right)^a\)

           \(\displaystyle \Leftrightarrow \left(1+a\right)^b>\left(1+b\right)^a\)

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回復 5# CyberCat 的帖子

左邊大於右邊,不表示積分後左邊也會大於右邊。

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令 \(\displaystyle g(x)=\ln\left(1+x\right)-\frac{x}{1+x}\),則 \(\displaystyle g '(x) = \frac{x}{\left(1+x\right)^2}\)

\(\Rightarrow g '(x)>0, \forall x>0\), 且 \(g(x)\) 在 \(x=0\) 處連續,

\(\Rightarrow g(x)\) 在 \(x\geq0\) 時為嚴格遞增函數,

\(\Rightarrow g(x)>g(0), \forall x>0\)

且因為 \(g(0)=0\),所以 \(g(x)>0, \forall x>0\)

\(\displaystyle \Rightarrow \ln\left(1+x\right)-\frac{x}{1+x}>0, \forall x>0\)

\(\displaystyle \Rightarrow \ln\left(1+x\right)>\frac{x}{1+x}, \forall x>0\)

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