單選題第1題：\(△ABC\) 為銳角三角形，\(\overline{BC}\) 邊上的高為 \(\overline{AD}\)，\(\overline{BD}=a,  \overline{CD}=b\)，且 \(a<b\)，將 \(△ABC\) 沿 \(\overline{AD}\) 折成大小為 \(\theta\) 的二面角 \(B-AD-C\)，若 \(\displaystyle\cos\theta = \frac{a}{b}\)，則三稜錐 \(A-BDC\) 的側面 \(△ABC\) 是何種三角形 (A)銳角三角形 (B)鈍角三角形 (C)直角三角形 (D)以上皆有可能。

解答：

在 \(\triangle BCD\) 中，由 \(\displaystyle\cos\theta=\frac{\overline{BD}}{\overline{CD}}\)，

可知 \(\angle CBD=90^\circ\)，所以由畢氏定理可得 \(\overline{BC}^2+a^2=b^2\)

在 \(\triangle ABD\) 與 \(\triangle ACD\) 中，由畢氏定理可得 \(\overline{AB}^2=a^2+\overline{AD}^2\) 且 \(\overline{AC}^2=b^2+\overline{AD}^2\)

以上三式代換一下，可得 \(\overline{BC}^2+\overline{AB}^2=\overline{AC}^2.\)

所以，\(\triangle ABC\) 是直角三角形。

填充題第8題：設 \(\displaystyle S_n=\frac{1}{3P^1_1}+\frac{1}{4P^2_2}+\frac{1}{5P^3_3}+\cdots+\frac{1}{\left(n+2\right)P^n_n}\)，求 \(\displaystyle \lim_{n\to\infty}S_n\)。

解答：

\(\displaystyle S_n=\frac{1}{3P^1_1}+\frac{1}{4P^2_2}+\frac{1}{5P^3_3}+\cdots+\frac{1}{\left(n+2\right)P^n_n}\)

        \(\displaystyle=\sum_{k=1}^n \frac{1}{\left(k+2\right)\cdot k!}\)

        \(\displaystyle=\sum_{k=1}^n \frac{k+1}{\left(k+2\right)!}\)

        \(\displaystyle=\sum_{k=1}^n \frac{\left(k+2\right)-1}{\left(k+2\right)!}\)

        \(\displaystyle=\sum_{k=1}^n \left(\frac{1}{\left(k+1\right)!}-\frac{1}{\left(k+2\right)!}\right)\)

        \(\displaystyle=\left(\frac{1}{2!}-\frac{1}{3!}\right)+\left(\frac{1}{3!}-\frac{1}{4!}\right)+\cdots+\left(\frac{1}{\left(n+1\right)!}-\frac{1}{\left(n+2\right)!}\right)\)

        \(\displaystyle=\frac{1}{2!}-\frac{1}{\left(n+2\right)!}.\)

故， \(\displaystyle \lim_{n\to\infty}S_n=\frac{1}{2}.\)

多重選擇題第3題：設則下列何者正確？（A）\(\displaystyle\frac{\log a+\log b}{2}>\log\frac{a+b}{2}\)（B）\(\log_a b+\log_b a\) 的最小值為 \(2\)（C）\(\displaystyle\left(a+\frac{1}{b}\right)\left(b+\frac{4}{a}\right)\) 的最小值為 \(9\)（D）\(\displaystyle\frac{\sin a+\sin b}{2}>\sin\frac{a+b}{2}\)。

題目似乎漏掉了 \(a,b\) 範圍的敘述！

多重選擇題第5題：下列哪些敘述為真
        (A)一函數 \(f(x)\) 在 \(x=a\) 連續，就必定在 \(x=a\) 有導數。
        (B)一函數 \(f(x)\) 在 \(x=a\) 有導數,就必定在 \(x=a\) 連續。
        (C)若數列 \(\{a_n\}\) 發散，且數列 \(\{b_n\}\) 發散，則數列 \(\{a_n\cdot b_n\}\) 必定發散。
        (D)若數列 \(\{a_n\}\) 發散，且數列 \(\{b_n\}\) 發散，則數列 \(\{a_n+b_n\}\) 必定發散。

解答：

（A）錯，反例：\(\displaystyle f(x)=\left|x\right|\) 在 \(x=0\) 時連續，但不可微。

（B）對，證明：當 \(x\neq a\) 時，可將 \(f(x)\) 表示成 \(\displaystyle f(x)=f(a)+\frac{f(x)-f(a)}{x-a}\left(x-a\right)\)，

                           因為 \(\displaystyle \lim_{x\to a} f(a)=f(a)\)，\(\displaystyle \lim_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}=f'(a)\) ，且\(\displaystyle \lim_{x\to a} \left(x-a\right)=0\)

                                  三個極限已知都存在，

                          所以 \(\displaystyle \lim_{x\to a} f(x)=\lim_{x\to a}\left(f(a)+\frac{f(x)-f(a)}{x-a}\left(x-a\right)\right)=f(a)+f'(a)\cdot 0=f(a)\)，

                         故，\(f(x)\) 在 \(x=a\) 時連續。

（C）錯，反例：\(a_n=b_n=\left(-1\right)^n.\)

（D）錯，反例：\(a_n=n\)，\(b_n=-n.\)

填充第 6 題：設 \(\displaystyle f(x) = \left(x^{\frac{2}{3}}+x^{\frac{-2}{3}}+1\right)\left(x^{\frac{2}{3}}-x^{\frac{-2}{3}}\right)\left(x - x^{-1}\right)^{-1}\)，若 \(x\in\mathbb{R}\)，則 \(f(x)\) 的範圍為？

解答：

因為 \(x\) 的次方數有分數，所以 \(x\) 為正實數。

如上 kittyaya 回覆的方式化簡，加上算幾不等式，可得 \(f(x)\geq 2\) 恆成立，

但當等號成立時 \(x=1\)，此時 \(f(x)\) 定義中的分母為零，需扣除掉，

故， \(f(x)\) 的範圍為 \(\left(2,\infty\right).\)