第2題,去年97高中數學競賽台南區筆試一第1題
假設重心為G,以及\( \displaystyle \angle{AGB}=\theta \)
顯然\( \displaystyle \theta > 90^o \)
也就是兩線所夾鈍角
\( \displaystyle cos\theta=-\frac{(1,-1)\cdot(2,-1)}{\sqrt2 \times \sqrt5} \)
\( \displaystyle =-\frac{3}{\sqrt{10}} \)
再令AB中點為M
由AB=60可得AM=30,MG=10
由中線定裡
\( \displaystyle GA^2+GB^2=2(AM^2+MG^2)=2000 \)
由餘弦定理
\( \displaystyle AB^2=GA^2+GB^2-2GA*GB*cos\theta \)
\( \displaystyle GA*GB=\frac{800\sqrt{10}}{3} \)
\( \displaystyle (GAB)=\frac{1}{2} \times GA*GB \times sin\theta=\frac{400}{3} \)
\( \displaystyle (ABC)=3(GAB)=400 \)