第 42 題：
題目：P 為銳角 △ABC 的外心，令 x、y、z 表 P 至三邊 BC、CA、AB 的垂線長﹐求 x : y : z
(A) sin A: sin B : sinC (B) cos A: cos B : cosC (C) tan A: tan B : tanC (D) cot A: cot B : cotC
(E) sec A: sec B : secC﹒
解答：
設 \(R\) 為 \(\triangle ABC\) 的外接圓半徑，則
\(\displaystyle \triangle PBC=\frac{1}{2}xa=\frac{1}{2}R^2\sin 2A\)
\(\displaystyle \triangle PAC=\frac{1}{2}yb=\frac{1}{2}R^2\sin 2B\)
\(\displaystyle \triangle PAB=\frac{1}{2}zc=\frac{1}{2}R^2\sin 2C\)
故，\(\displaystyle x:y:z=\frac{\sin2A}{a}:\frac{\sin2B}{b}:\frac{\sin2C}{c}=\cos A:\cos B: \cos C.\)
第 46 題：
題目：設 a 為異於 1 的正整數，以 a 除 4510﹐3718﹐2970 之餘數相同，則 a 有幾個解？
(A)1 (B)3 (C)5 (D)7 (E)9﹒
解答：
\(4510=aq_1+r, 3718=aq_2+r, 2970=aq_3+r\)，
兩兩相減，可得 \(a\Big|gcd\left(4510-3718,3718-2970\right)\Rightarrow a\Big|44\)
由於 \(44=2^2\times11\) 的正因數個數有 \(3\times2=6\) 個，
扣掉 \(a=1\) 的情況，\(a\) 還剩下 \(5\) 種可能。
