3.
設\( |z|=1 \)且\( z^5+z-1=0 \)，試求複數\( z \)之值。
[解答]
\(Z^{5}+Z-1=0，Z^{5}=1-Z，|Z^{5}|=|1-Z|=1\)
令\(Z=cos\theta + isin\theta \)
由\(|1-Z|=1\)得\(\displaystyle \theta =\frac{\pi }{3}或\frac{5\pi }{3}\)
分別代入驗證是否符合\(Z^{5}+Z-1=0\)
當\(\displaystyle \theta =\frac{\pi }{3}\)時
\(\displaystyle Z^{5}=cos\frac{5\pi }{3}+isin\frac{5\pi }{3}=\frac{1 }{2}-\frac{\sqrt{3} }{2}i\)------(1)
\(\displaystyle 1-Z=1-cos\frac{\pi }{3}-isin\frac{\pi }{3}=1-\frac{1 }{2}-\frac{\sqrt{3} }{2}i=\frac{1 }{2}-\frac{\sqrt{3} }{2}i\)------(2)
以上(1)(2)可得\(\displaystyle Z=cos\frac{\pi }{3} + isin\frac{\pi }{3} \)符合
當\(\displaystyle \theta =\frac{5\pi }{3}\)時
\(\displaystyle Z^{5}=cos\frac{25\pi }{3}+isin\frac{25\pi }{3}=\frac{1 }{2}+\frac{\sqrt{3} }{2}i\)------(3)
\(\displaystyle 1-Z=1-cos\frac{5\pi }{3}-isin\frac{5\pi }{3}=1-\frac{1 }{2}+\frac{\sqrt{3} }{2}i=\frac{1 }{2}+\frac{\sqrt{3} }{2}i\)------(4)
以上(3)(4)可得\(\displaystyle Z=cos\frac{5\pi }{3} + isin\frac{5\pi }{3} \)符合
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