一半徑為1的球面上有甲乙丙三點，甲坐標為\( (1,0,0) \)，乙坐標為\( \displaystyle (\frac{1}{2},\frac{1}{2},\frac{\sqrt{2}}{2}) \)，已知丙在甲乙最短距離的一半處，求丙坐標？
[解答]
設丙\( (a,b,c) \)，且\( a^2+b^2+c^2=1 \)，甲乙中點為\( \displaystyle (\frac{3}{4},\frac{1}{4},\frac{\sqrt{2}}{4}) \)，再來我就卡住了

110.8.15補充
今一單位球(半徑為1的球)球心為原點，且球面上兩點\(P\)、\(Q\)座標分別為\(\displaystyle P(1,0,0),Q(-\frac{1}{2},\frac{3}{4},\frac{\sqrt{3}}{4})\)，沿著球面行進，於\(PQ\)最短路徑中取一點\(R\)，使得弧\(PR\)：弧\(QR=1:3\)，試求\(R\)點座標。
(1092中山大學雙週一題第6題，http://www.math.nsysu.edu.tw/~problem/2021s/1092Q&A.htm)

題目應該有漏掉〝此球的球心為原點〞，

不然答案應該是不唯一。

設此球的球心為原點 \(O\)，

甲的坐標 \(A(1,0,0)\)，乙的坐標  \(B \left( {\frac{1}{2},\frac{1}{2},\frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right)\)，

丙的坐標 \(C\)，

則

\(\displaystyle\overrightarrow {OC} = \frac{\left(\overrightarrow {OA} +\overrightarrow {OB}\right)}{\left|\overrightarrow {OA} +\overrightarrow {OB}\right|} \)

可得 \(\overrightarrow {OC}\)，

可得 \(C\) 點坐標。







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以下補上題目的文字敘述，方便後人搜尋

有一球面的半徑為 \(1\)，球心為原點，

球面上有甲、乙、丙三點座標，甲座標為 \((1,0,0)\)，

乙座標為 \(\left( {\frac{1}{2},\frac{1}{2},\frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right)\)，

已知丙在甲乙最短距離的一半處，求丙點座標。

老師
我的確漏掉
但您這個方法是利用單位向量嗎
那中點就是煙霧彈 是不是這個道理啊

如果要先求 \(A, B\) 的中點 \(M\)，

再利用 \(\overrightarrow {OC} = \frac{\overrightarrow {OM} }{\left|\overrightarrow {OM} \right|}\)，

也可以啦。

若非單位圓時，
設甲、乙中點為M
則\(\overleftrightarrow{OM} = \left [ \begin{array}{ll} x=\frac{ 3}{ 4}t &  \\ y= \frac{ 1}{ 4}t  &, t \in R \\   z=\frac{ \sqrt[ ]{2 }}{ 4}t   \end{array} \right ] \)

丙\(\displaystyle \left (  \frac{ 3}{ 4}t, \frac{ 1}{ 4}t, \frac{  \sqrt{2 } }{ 4}t,   \right ) \)

帶入球方程式，解 t 可得丙座標

老師謝謝您