98年師大附中教甄數學科
1. \(\displaystyle f(x)=\sqrt {{4^x} - 5 \cdot {2^{x + 1}} + {x^2} - 4x+ 29} - \sqrt {{4^x} - {2^{x + 3}} + {x^2} - 2x + 17} \) 之最大值？
2. 已知 \(\triangle ABC\) 中， \(\overline {AB} = \sqrt 5 ,\overline {BC} = \sqrt 6 ,\overline {AC} = \sqrt 7 \)， \(\overleftrightarrow{BD},\, \overleftrightarrow{CE} \) 分別平分 \(\angle B,\angle C\) ，
且 \(\angle ADB={90^\circ },\,\angle AEC = {90^\circ }\) ，如圖，則 \(\overline {DE} = ?\)
3. 若 \(a,b,c,abc\) 是不等於 \(1\) 的正數，且 \(\displaystyle{\log _a}27 + {\log _b}27 + {\log _c}27 = {\log _{abc}}27\)，
求 \(\displaystyle{(abc)^2} - abc(a + b + c) + (ab + bc + ac) = ?\)
4. 數列 \(\left\{a_n\right\}\) 中，已知 \({a_1} = 2,{a_{n + 1}} > {a_n}\)，且 \(a_{n + 1}^2 + a_n^2 + 4 = 2{a_{n + 1}}{a_n} + 4{a_{n + 1}} + 4{a_n}\)，則一般項 \({a_n} = ?\)
5. 坐標空間中四面體 \(ABCD\) 的頂點分別是 \(A(3,1,2),\, B(3,0,0),\,C(0,2,0),\,D(0,0,6)\)，
已知平面 \(E\) 通過 \(\overline {AB}\) 與 \(\overline {CD} \) 中點且 \(A,\, B,\, C,\, D\) 四個頂點與平面 \(E\) 的距離皆相等，
則平面 \(E\) 的方程式為？
6. 設 \(f(x)={x^{12}} + 7{x^{11}} + 1\)， \({x_1},{x_2}, \ldots ,{x_{12}}\) 為 \(f(x)=0\) 的 \(12\) 個相異根，求 \(\prod\limits_{i = 1}^{12} {(x_i^2 - {x_i}} + 1) =?\)
（符號說明： \(\prod\limits_{i = 1}^{n} x_i=x_1x_2x_3\cdots x_n\) ）
7. 已知 \(A,B,C\) 為 \(\triangle ABC\) 的三內角，若 \(A = a\) 時， \(\left(\sin B + \sin C\right)\cos A\) 有最小值，則：
(1) 最小值發生時， \(\triangle ABC\) 為何種三角形？
(2) \(a=?\)
8. (1) \(\displaystyle\sum\limits_{{n_2} = 0}^3 {\sum\limits_{{n_1} = 0}^{{n_2}} {\sum\limits_{{n_0} = 0}^{{n_1}} 1 } } = ?\)
(2) \(\displaystyle\sum\limits_{{n_{10}} = 0}^3 {\sum\limits_{{n_9} =0}^{{n_{10}}} { \cdots \sum\limits_{{n_2} = 0}^{{n_3}}{\sum\limits_{{n_1} = 0}^{{n_2}} {\sum\limits_{{n_0} = 0}^{{n_1}} 1 } }} } = ?\)
9. 已知 \(\triangle ABC\) 中，\(\overline{AB} = 5,\, \overline{BC} = 6,\, \overline{AC} = 7\)，\( \overline{AD} = \overline{DE} =\overline{EB}\)，\(\overline{BF} = \overline{FG} = \overline{GC}\)，如圖，
則 \(\triangle CHI\) 的面積為何？
10. 已知連續隨機變數 \(X\) 的機率密度函數（
Probability Density Function） \(f (x)\)為
\[f(x) = \left\{ \begin{array}{ll}
a{x^2} + bx + c,& 0 < x < 1 \\
0, &x \le 0 \mbox{ 或 } x \ge 1 \\
\end{array} \right.,\]
且 \(x\) 的期望值 \(E[X] = \frac{1}{2}\)， \(X\) 的變異數 \(Var(X) = \frac{3}{{20}}\)，
則 \(a + b + c = ?\)
11. 下列五項是數學教師在課堂上的一些行為：
(1) 上課生動活潑；(2) 上課進度顧慮到學生的理解程度；
(3) 善用各種教具；(4) 在上課中特意出挑戰題，提升學生的學習興趣；
(5) 上課留時間給學生互相討論。請問哪兩項是高中生認為一位理想數學教師
為引起學生學習動機最應有的行為？ ＿＿＿＿與＿＿＿＿ （請填入項目的編號）。
12. 請寫出高中數學教師在教新的數學概念時最應該盡量使用的三種數學表徵方式.
13. 請寫出高中數學教師在課堂上最能有效引動學生數學思考的三項教學行為.
註：
1. 感謝
pgcci7339 老師，於第一時間提供的題目！！ ^__^
2. 2009/05/19 師大附中公布試題及答案，
故重新上傳為師大附中公布的版本。
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