98慈大附中,臺南慈中

第七題:
假設\( t \)秒後水深\( x \)公分
由相似形知道此時水面圓半徑為 \( \displaystyle \frac{1}{5}x \)
體積為 \( \displaystyle \frac{1}{3} \times \pi (\frac{1}{5}x)^2 \times x=\frac{\pi x^3}{75}=5t \)
兩邊對\( t \)微分得到\( \displaystyle \frac{\pi x^2}{25} \frac{dx}{dt}=5 \)
\( \displaystyle \frac{dx}{dt} \bracevert_{x=10} =\frac{125\pi}{100}=\frac{5\pi}{4} \)

最後一題，我本來也是用歸納法，在看到bugmens的提示後，真是佩服啊!!
既然你已經到
\( \displaystyle 3^{k+1} \geq 1+2\sqrt3 k \sqrt{3^k} \)
目標是\( \displaystyle 1+2(k+1) \sqrt{3^k} \)
所以只要\( \displaystyle \sqrt3 k \geq k+1 \)就好
如果成立\( \displaystyle k \geq \frac{\sqrt3-1}{2} \)
所以在\( k>2 \)的時候命題成立

順便PO一下我對第3題的作法
一樣令\( x=\sqrt[3]{2} \)
\( \displaystyle 2=x^3=(x^2+5x+1)(x-5)+24x+5 \)
\( \displaystyle \frac{1}{x^2+5x+1}=\frac{x-5}{-3(8x+1)} \)
\( \displaystyle =\frac{(x-5)(64x^2-8x+1)}{-3(8x+1)(64x^2-8x+1)} \)
\( \displaystyle =\frac{64x^3-328x^2+41x-5}{-3(512x^3+1)} \)
\( \displaystyle =\frac{-328x^2+41x+123}{-3075} \)
\( \displaystyle =\frac{8}{75}x^2-\frac{1}{75}x-\frac{1}{25} \)

[ 本帖最後由 老王 於 2009-6-26 04:18 PM 編輯 ]