計算題第 8 題.
設 \(F(n)\) 表示整數 \(n\) 之各位數字中偶數的和,例如:\(F(1234)=2+4=6\),試問
\(F(1)+F(2)+\cdots+F(1000)\) 之值。
解:
\(F(1000)=0+0+0=0\),設某介於 \(1\) 至 \(999\) 的數字用十進位表示法為 \(A B C\),
出現在個位數字的的所有偶數只可能為 \(0,2,4,6,8\),
對所有個位數為偶數 \(C\) 的數字 \(ABC\),把 \(ABC\) 當中扣除 \(C\) 不寫,
剛好 \(AB\) 可以由 \(00\) 寫至 \(99\),共 \(100\) 組,
所以,由 \(1\) 寫至 \(999\) 時,出現在 \(C\) 位置的所有偶數和為 \((2+4+6+8)\cdot 100 = 2000\).
同理,由 \(1\) 寫至 \(999\) 時,出現在十位數字(\(B\) 位置)的所有偶數總和為 \((2+4+6+8)\cdot 100 = 2000\),
且由 \(1\) 寫至 \(999\) 時,出現在百位數字(\(A\) 位置)的所有偶數總和亦為 \((2+4+6+8)\cdot 100 = 2000\),
故,由 \(1\) 寫至 \(1000\) 時,所有書寫過的偶數的累加起來和為 \(2000+2000+2000 = 6000\).
Note: \(0\) 有沒有累加都一樣,所以只算 \(2,4,6,8\) 的總和就好.