引用:

原帖由 pgcci7339 於 2009-3-19 03:01 PM 發表
若 a，b，c為正數，試證：

                      sqrt(ab(a+b))+sqrt(bc(b+c))+sqrt(ac(a+c)) >= sqrt((a+b)(b+c)(c+a))

數學符號不知道要怎麼呈現耶....><

如下，就做不出來了，不知道有沒有人可以接下去。 ^__^

令 \(x=a+b,\, y=b+c,\, z=c+a,\, s=\frac{x+y+z}{2}\)，且以 \(x,y,z\) 為三邊的三角形為 \(\triangle ABC\)，則

\[a=\frac{x-y+z}{2}=s-y,\, b=\frac{x+y-z}{2}=s-z,\, c=\frac{-x+y+z}{2}=s-x\]

題目：
\[\sqrt{ab\left( {a + b} \right)}  + \sqrt {bc\left( {b + c} \right)}  + \sqrt{ca\left( {c + a} \right)}  > \sqrt {\left( {a + b} \right)\left( {b+ c} \right)\left( {c + a} \right)} \]
\[ \Leftrightarrow \sqrt{\left( {s - y} \right)\left( {s - z} \right)x}  + \sqrt {\left( {s -z} \right)\left( {s - x} \right)y}  + \sqrt {\left( {s - x}\right)\left( {s - y} \right)z}  > \sqrt {xyz} \]
\[\Leftrightarrow \sqrt {\frac{{\left( {s - y} \right)\left( {s - z}\right)}}{{yz}}}  + \sqrt {\frac{{\left( {s - z} \right)\left( {s - x}\right)}}{{zx}}}  + \sqrt {\frac{{\left( {s - x} \right)\left( {s - y}\right)}}{{xy}}}  > 1\]
\[ \Leftrightarrow \sin \frac{A}{2} + \sin \frac{B}{2} + \sin \frac{C}{2} > 1.\]

所以等同於要證明 \(\triangle ABC\) 的
\[\sin \frac{A}{2} + \sin \frac{B}{2} + \sin \frac{C}{2} > 1.\]

（接下來就沒想到了怎麼證了，晚點有空繼續想，呵呵。）

（繼續補上，續接之前回覆～）

因為 \(\sin x\) 函數圖形在 \(0<x<\frac{\pi}{2}\) 時，開口凹向下\({}^\mbox{註1}\)，


由圖形可以知道，當 \(0<x<\frac{\pi}{2}\) 時，恆有
\[\sin(x)>\frac{2}{\pi}\cdot x.\]

故，
\[\sin \left( {\frac{A}{2}} \right) + \sin \left( {\frac{B}{2}} \right) + \sin \left( {\frac{C}{2}} \right) > \frac{2}{\pi } \cdot \frac{A}{2} + \frac{2}{\pi } \cdot \frac{B}{2} + \frac{2}{\pi } \cdot \frac{B}{2} = \frac{{A + B + C}}{\pi } = 1.\]





推廣：

如果再搭配 bugmens 所提醒的 \(\frac{3}{2}\ge \sin \left( {\frac{A}{2}} \right) + \sin \left( {\frac{B}{2}} \right) + \sin \left( {\frac{C}{2}} \right)\)

（一般證法可見 https://math.pro/db/thread-229-1-4.html ，取其中第三個不等式的 \(a=\frac{A}{2}, b=\frac{B}{2}, c=\frac{C}{2}\)  \({}^\mbox{註2}\)）



可以得到
\[\frac{3}{2}\ge \sin \left( {\frac{A}{2}} \right) + \sin \left( {\frac{B}{2}} \right) + \sin \left( {\frac{C}{2}} \right) > 1\]




亦即，此題可以進一步證明得到

\[\frac{3}{2}\sqrt {\left( {a + b} \right)\left( {b+ c} \right)\left( {c + a} \right)}\ge \sqrt{ab\left( {a + b} \right)}  + \sqrt {bc\left( {b + c} \right)}  + \sqrt{ca\left( {c + a} \right)}  > \sqrt {\left( {a + b} \right)\left( {b+ c} \right)\left( {c + a} \right)} \]



註1: 可由 \(\left(\sin{x}\right)^{''}=-\sin{x}<0,\,\forall 0<x<\frac{\pi}{2}\)，

　　 得知當\(\sin x\) 函數圖形在 \(0<x<\frac{\pi}{2}\) 時，開口凹向下.

註2:
\[\frac{\sin \left( {\frac{A}{2}} \right) + \sin \left( {\frac{B}{2}} \right) + \sin \left( {\frac{C}{2}}\right)}{3} \le \sin\left(\frac{\frac{A}{2}+\frac{B}{2}+\frac{C}{2}}{3}\right) =  \sin\left(\frac{A+B+C}{6}\right) = \sin\left(\frac{\pi}{6}\right)=\frac{1}{2}\]