已知平面上凸 n 邊形之對角線沒有三線共點者
由此凸 n 邊形之邊與對角線所圍成的三角形可以分成下列幾種情況:
case i: 三角形的三頂點都在原來的 n 個頂點中,
由此凸 n 邊形的 n 個頂點中,任取三個頂點連接之後,
即會造成一個這樣的三角形,(可以自己拿筆畫看看比較容易明瞭)
所以此種情形有 1×C(n, 3)
case ii: 三角形的兩個頂點在原來的 n 個頂點中,一個在凸 n 邊形的內部(也就是經由對角線相交而得),
由此凸 n 邊形的 n 個頂點中,任取四個頂點連接之後,
即會造成四個這樣的三角形,(可以自己拿筆畫看看比較容易明瞭)
所以此種情形有 4×C(n, 4)
case iii: 三角形的一個頂點在原來的 n 個頂點中,兩個在凸 n 邊形的內部(也就是經由對角線相交而得),
由此凸 n 邊形的 n 個頂點中,任取五個頂點連接之後,
即會造成五個這樣的三角形,(可以自己拿筆畫看看比較容易明瞭)
所以此種情形有 5×C(n, 5)
case iv: 三角形的三個頂點都落在凸 n 邊形的內部(也就是經由對角線相交而得),
由此凸 n 邊形的 n 個頂點中,任取六個頂點連接之後,
即會造成一個這樣的三角形,(可以自己拿筆畫看看比較容易明瞭)
所以此種情形有 1×C(n, 6)
所以,由此凸 n 邊形之邊與對角線所圍成的三角形個數
= 1×C(n,3)+4×C(n,4)+5×C(n,5)+1×C(n,6)