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113花蓮女中

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06/17 17:22 更新題目為含有計算題的

[ 本帖最後由 5pn3gp6 於 2024-6-17 17:23 編輯 ]

附件

數學科筆試試題(含計算題).pdf (214.99 KB)

2024-6-17 17:23, 下載次數: 960

數學科筆試參考答案.pdf (75.66 KB)

2024-6-15 20:20, 下載次數: 713

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一、填充題
2.
袋中有編號\(1,2,3,\ldots,50\)的球各一個,今自袋中任取3球,令隨機變數\(X\)表所取出球中號碼之最大值,則\(X\)之期望值\(E(X)=\)   

袋中有 \(2008\) 顆球,分別編號為 \(1,2,3,…,2008\),設每球被取中的機率相同,今從袋中隨機取出三顆球,設三顆球之中編號最大者為 \(T\),求 \(T\) 之期望值。
(99屏東女中,連結有解答https://math.pro/db/viewthread.php?tid=976&page=1#pid2659)

3.
設\(f(x)=x^5+x^4+x^3+x^2+x+1\),則\(f(x^{12})\)除以\(f(x)\)的餘式為   

設多項式\(f(x)=x^5+x^4+x^3+x^2+x+1\),則\(f(x^{12})\)除以\(f(x)\)所得到的餘式為何?
(A)6 (B)\(5-x\) (C)\(4-x+x^2\) (D)\(3-x+x^2-x^3\)
(94台南縣國中聯招,連結有解答http://www.shiner.idv.tw/teachers/viewtopic.php?f=46&t=1770)

4.
設函數\(f(x,y)=x^2-xy+y^2+2x-3y+5\),當數對\((x,y)=\)   時,\(f(x,y)\)有最小值。
相關問題https://math.pro/db/viewthread.php?tid=680&page=3#pid7957

6.
在銳角\(\Delta ABC\)中,若\(sinA=2sinB\cdot sinC\),則\(tanA\cdot tanB\cdot tanC\)的最小值為   
百度文章,連結有解答https://zhidao.baidu.com/questio ... 0%E5%B0%8F%E5%80%BC

二、計算證明題
5.
設\(m\)、\(n\)為整數,且\(m\times n\ge 0\),則滿足\(m^3+n^3+93mn=31^3\)的序對\((m,n)\)有多少組?
(110高中數學能力競賽北一區筆試二,連結有解答https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1730&page=1#pid9847)

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老師我想請問第七題

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想問第五題~謝謝!!

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回覆 4# nico90015 的帖子

第五題

化簡得,\((x+\sqrt{2}i)^4=4+4i\)
所以,\(|z+\sqrt{2}i|^4=4\sqrt{2}\)

[ 本帖最後由 Jimmy92888 於 2024-6-16 19:58 編輯 ]

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回覆 3# kobelian 的帖子

第7題
因為\(|n|=7\)
所以\(OA×OB=4n=(24,-8,-12),OB×OC=2n=(12,-4,-6),OC×OA=12n=(72,-24,-36)\)
因此,\(
\left|
\begin{array}
{cc}
a_1&a_2\\
b_1&b_2
\end{array}
\right|=-12,
\left|
\begin{array}
{cc}
b_1&b_2\\
c_1&c_2
\end{array}
\right|=-6,
\left|
\begin{array}
{cc}
c_1&c_2\\
a_1&a_2
\end{array}
\right|=-36,
\)

所求\(=(4,5,2).(-6,-36,-12)=-228\)

(抱歉,省略向量符號)

[ 本帖最後由 Jimmy92888 於 2024-6-16 20:03 編輯 ]

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想問老師們計算2.4.6.7,謝謝!!

[ 本帖最後由 nico90015 於 2024-6-17 17:55 編輯 ]

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回覆 5# Jimmy92888 的帖子

謝謝老師!!

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#計算2
\( \displaystyle [f(2022)-g(2022)]^2+[f(2023)-g(2023)]^2=0 推得 f(2022)-g(2022)=0、f(2023)-g(2023)=0\),
考慮\( h(x)=f(x)-g(x) \),由題目第一句話可知\( deg(h(x))=deg(f(x)-g(x)) <2 \),
又\( h(x)=0 有 2022、2023\)等兩根,表示\( h(x)=0 \)。
復比較\(f(x)、g(x) \)係數可得:a+2021=b+c、2021a+1=bc,故 2021(b+c-2021)+1=bc,整理可得(b-2021)(c-2021)=1。
因為b,c,a為整數,故(b,c,a)=(2020,2020,2019)或(2022,2022,2023)。
所以\( f(x)=(x-2019)(x-2021)+1 或f(x)=(x-2023)(x-2021)+1\),剩下就自己算吧,答案是16或4。

[ 本帖最後由 swallow7103 於 2024-6-17 21:09 編輯 ]

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回覆 7# nico90015 的帖子

計算第 4 題
(1) a = 1,b = 0
(2) a = 2,b = 1
(3) a > 2
2^a ≡ 0 (mod 8)
b 是正奇數,3^b + 1 ≡ 4 (mod 8)
b 是正偶數,3^b + 1 ≡ 2 mod 8)
無解

負整數部分就不寫了

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