113 師大附中二招 試題

請教選填第 B 題

選填第 B 題
f(x) 的 x^2 項係數 a (a > 0)
g(x) 的 x 項係數 -2
h(x) 的 x^3 項係數 -2a = p = -6
a = 3

f(x) = 3(x - 1)^2 + 2 = 3x^2 - 6x + 5
g(x) = -2x + 4
h(x) = -6x^3 + 24x^2 - 34x + 20，對稱中心橫座標 = -24/(-18) = 4/3
h(x - 1) 之對稱中心橫座標 = 7/3

[ 本帖最後由 thepiano 於 2024-5-26 15:18 編輯 ]

G.
空間直角坐標系中有兩點\(A(1,2,3)\)與\(B(3,4,5)\)，若在\(xy\)平面上有一動點\(P\)，則\(\overline{PA}^2+\overline{PB}^2\)的最小值為　　　。

H.
一村莊的村民們將財物全放在教堂的一個箱子裡並鎖上，箱子上有36個鎖，任兩個鎖對應到的鑰匙不相同，現將鑰匙複製若干支分給村民，滿足每個村民擁有的鑰匙種類一樣多，且任意三個人可以打開箱子，但是任意兩個人無法打開箱子，則求此村莊的村民最多有　　　人。
https://math.pro/db/thread-2057-1-1.html

I.
空間中12個相異平面最多可將此空間分割成　　　個區域。
[解答]
\(C_0^{12}+C_1^{12}+C_2^{12}+C_3^{12}=299\)
公式出處https://math.pro/db/viewthread.php?tid=661&page=2#pid4597

J.
計算\(\displaystyle \frac{1}{2^{16}}(1\times 2C_1^{16}+2\times 3C_2^{16}+3\times 4C_3^{16}+\ldots+16\times 17C_{16}^{16})=\)　　　。


K.
若\(\displaystyle a_n=\sum_{k=1}^{2n}\frac{4n^2}{(2n+5k)^3},n\in N\)，則\(\displaystyle \lim_{n\to \infty}a_n=\)　　　。
我的教甄準備之路　黎曼和和夾擠定理，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=661&page=3#pid23615

M.
若正四面體其中兩條對稜分別落在直線\(L_1\)：\(\cases{x=1+3t\cr y=2+6t\cr z=\sqrt{3}-5\sqrt{3}t},t\in R\)與直線\(L_2\)：\(\cases{x+2y=0\cr z=0}\)上，則此正四面體的體積為　　　立方單位。

P.
試求\(\displaystyle \frac{|\;19x+13y|\;}{3}+\frac{|\;25x+17y|\;}{4}=1\)的圖形內部面積為　　　。

「在坐標平面上，\( \displaystyle \frac{|\; 3x+2y |\;}{5}+\frac{|\; 7x+y |\;}{8}=1 \)所圍成的區域面積為何？」此題是高二學生在學習「第四冊第三章矩陣」遇到的問題，請問你會如何引導你的學生，利用本章何種概念，去思考解此題並把解題過程詳細列出。
(104松山高中，連結有解答https://math.pro/db/viewthread.php?tid=2264&page=3#pid13904)

請教選填N、Q，謝謝!

選填 N.
\( \displaystyle \frac{1}{\frac{6}{6}}+\frac{1}{\frac{5}{6}}+\frac{1}{\frac{4}{6}}+\frac{1}{\frac{3}{6}}+\frac{1}{\frac{2}{6}}+\frac{1}{\frac{1}{6}}=14.7 \)

選填 Q.
取 \( H(-6+t,2t) \) 為 \( B \) 在直線 \( L \) 上的投影點 \( \Rightarrow t=5 \), \( H(-1,10) \)。

故 \( B \) 對直線 \( L \) 的對稱點為 \( B'(4,20) \)，\( \Gamma_{1} \) 的長軸長 \( 2a=\overline{B'C}=20 \)。

\( 2c=\overline{BC}=10 \Rightarrow c=5 \)，而 \( \overline{BC} \) 中點 \( M \) 的坐標為 \( (-1,0) \)。

因 \( \Gamma_{1}:\,\frac{(x+1)^{2}}{100}+\frac{y^{2}}{75}=1 \)，而可令 \( \Gamma_{2} \) 的方程式為 \( \frac{(x+1)^{2}}{25-k}-\frac{y^{2}}{k}=1 \)，

將 \( D(-6,\frac{9}{4}) \) 在\(  \Gamma_{2} \) 上，故 \( \frac{25}{25-k}-\frac{81}{16k}=1 \)

\( \Rightarrow k=9 \) 或 \( -\frac{225}{16} \) (負不合)。

\( A:\begin{cases}
\frac{(x+1)^{2}}{100}+\frac{y^{2}}{75} & =1\\
\frac{(x+1)^{2}}{16}-\frac{y^{2}}{9} & =1
\end{cases} \Rightarrow y=\pm3\sqrt{3} \)

故所求面積 \( =\frac{1}{2}\cdot10\cdot3\sqrt{3}=15\sqrt{3} \)

謝謝寸絲老師

整理了填充題解答 供參
(F沒有想到嚴謹的寫法)
感謝寸絲老師解惑~

[ 本帖最後由 ruee29 於 2024-6-8 19:00 編輯 ]

填充 F. 用三角不等式就可以說明
將此八個數從 1 開始，逆時針記為 \( a_1,a_2,a_3,...a_8 \)，並令 \( a_9=a_1 =1 \)

其中有一個是 8，將其記為 \( a_k \)

相鄰號碼值的絕對值之和 \( = \sum_{i=1}^{8}\left|a_{i+1}-a_{i}\right|=\sum_{i=1}^{k-1}\left|a_{i+1}-a_{i}\right|+\sum_{i=k}^{8}\left|a_{i+1}-a_{i}\right|\ge|a_{k}-a_{1}|+|a_{9}-a_{k}|=14 \)

等號的條件是 1,8 之間的兩段數字，都必須單調遞增、遞減。
例如：1,8,7,6,5,4,3,2

[ 本帖最後由 tsusy 於 2024-6-9 18:37 編輯 ]