國立金門高級中學112學年第一次教師甄試(數學科)筆試試題及參考答案

一、填充題
1.
設\(P\)為正方形\(ABCD\)的內部一點，其中\(\overline{AP}=3\sqrt{2},\overline{BP}=3,\overline{CP}=6\)，則正方形\(ABCD\)的面積為　　　。

已知\(P\)為正方形\(ABCD\)內部的一點，若\( \overline{AP}=7 \)，\( \overline{BP}=5 \)，\( \overline{CP}=1 \)，試求正方形\(ABCD\)的面積。
(100彰化藝術高中,田中高中，連結有解答https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1152&page=4#pid4973)

2.
\(A\)箱中有1黑1白球，\(B\)箱中有1白球；每次先由甲自\(A\)箱隨機取一球放入\(B\)箱中，再由乙自\(B\)箱隨機取一球放入\(A\)箱，這樣稱為一局，以\(P_n\)表示第\(n\)局結束時，\(A\)箱中恰一黑一白球的機率，求\(\displaystyle \lim_{n\to \infty}P_n=\)　　　。
連結有解答，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1333&page=11#pid22298

4.
半圓\(O\)的半徑為1，\(A\)為直徑延長線上一點，\(\overline{OA}=2\)，\(B\)為半圓上任一點，以\(\overline{AB}\)為一邊做正三角形\(ABC\)，求四邊形\(OACB\)面積的最大值。
我的教甄準備之路　三角形的面積，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=661&page=2#pid2779

7.
五人進行「剪刀、石頭、布」的猜拳，五人同時出拳，若能分出勝負（例如：兩人出剪刀，三人出石頭時，算是分出勝負；但五人都出剪刀時，不算分出勝負），則猜拳停止；若分不出勝負，則繼續猜拳，直到分出勝負為止。試求猜拳次數的期望值。
(110台北市高中聯招，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=3518&page=1#pid22923)

8.
若\(\left[\matrix{1&3\cr 0&2}\right]^n=\left[\matrix{a_n&b_n\cr c_n&d_n}\right]\)，其中\(n\)為正整數，則\(\displaystyle \frac{b_{20}}{b_{10}}\)之值為　　　。
我的教甄準備之路　矩陣\(n\)次方，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=661&page=3#pid14875

9.
求\(2022^{111}\)末兩位數是多少？

10.
已知\(a,b\)為正整數，設函數\(\displaystyle f(x)=\lim_{n\to \infty}\frac{2x^{2n+1}+ax^2+bx-1}{2x^{2n}+3}\)，若\(\forall x\in R\) \(f(x)\)為連續函數，則序對\((a,b)=\)　　　。

\( f(x)=\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{x^{2n-1}+ax^2+bx}{x^{2n}}\)，若\(f(x)\)在實數域上是連續函數，則\((a,b)\)為多少？
(107文華高中，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=2949&page=5#pid18510)

二、計算與說明題
2.
設\(x\)為有理數，將\((x+1)(x-2)\)的小數第一位予以「四捨五入」後所得的整數為\(1+5x\) ，則\(x\)的值為多少？

設\(x\)為實數，將正數\(7x-6\)小數點後第一位四捨五入，得整數\(4x+1\)，試求\(x\)之值。
(104興大附中數理資優班，https://math.pro/db/thread-2841-1-1.html)

4.
\(O\)為正方形\(ABCD\)的中心。程式設定讓跳跳蛙在圖中諸點之間跳動，每次都可以跳到相鄰的任何一點，例如：由\(A\)點可跳到\(O\)、\(B\)、\(D\)中的任何一點，由\(O\)點可跳到\(A\)、\(B\)、\(C\)、\(D\)中的任何一點。設從\(O\)點開始，經 \(n\)次跳動返回\(O\)點的路線有\(a_n\)種，而經\(n\)次跳動到達\(A\)點的路線有\(b_n\)種。
(1) 試求數列\(\langle\;a_n\rangle\;\)的遞迴關係式
(2) 承(1)，試證：\(a_n=2^nF_{n-1}\)，其中\(\langle\;F_n\rangle\;\)為費氏(Fibonacci)數列

自己寫的填充題，計算題沒靈感。

計算2.
設\(x\)為有理數，將\((x+1)(x-2)\)的小數第一位予以「四捨五入」後所得的整數為\(1+5x\) ，則\(x\)的值為多少？
[解答]
假設\(\displaystyle x=\frac{m}{5},m\in \mathbb{Z}\)
則原數為\(\displaystyle (\frac{m}{5}+1)(\frac{m}{5}-2)\)，四捨五入後的數字為\(\displaystyle 1+m\)

可知\(\left\{
\begin{array}{LL}
m+\frac{1}{2}\leq \displaystyle (\frac{m}{5}+1)(\frac{m}{5}-2)<m+1 \\
or \\
m+1\leq \displaystyle (\frac{m}{5}+1)(\frac{m}{5}-2)<m+\frac{3}{2}
\end{array}
\right.
\)

若是\(\displaystyle m+\frac{1}{2}\leq \displaystyle (\frac{m}{5}+1)(\frac{m}{5}-2)<m+1\)
整理化簡後可得 \(\displaystyle 62.5\leq m^2-30m<75\)
\(\displaystyle m^2-30m=63,64,\cdots ,73,74\)，利用同餘篩選並檢驗發現只有64符合題意
解得\(m=32\)或是\(m=-2\)，對應到\(\displaystyle x=\frac{32}{5},x=\frac{-2}{5}\)

若是\(\displaystyle m+1\leq \displaystyle (\frac{m}{5}+1)(\frac{m}{5}-2)<m+\frac{3}{2}\)
整理化簡後可得 \(\displaystyle 75\leq m^2-30m<87.5\)
\(\displaystyle m^2-30m=75,76,\cdots ,86,87\)，利用同餘篩選並檢驗發現沒有整數解
故綜合以上，\(\displaystyle x=\frac{32}{5},x=\frac{-2}{5}\)

計算4.
\(O\)為正方形\(ABCD\)的中心。程式設定讓跳跳蛙在圖中諸點之間跳動，每次都可以跳到相鄰的任何一點，例如：由\(A\)點可跳到\(O\)、\(B\)、\(D\)中的任何一點，由\(O\)點可跳到\(A\)、\(B\)、\(C\)、\(D\)中的任何一點。設從\(O\)點開始，經 \(n\)次跳動返回\(O\)點的路線有\(a_n\)種，而經\(n\)次跳動到達\(A\)點的路線有\(b_n\)種。
(1) 試求數列\(\langle\;a_n\rangle\;\)的遞迴關係式
(2) 承(1)，試證：\(a_n=2^nF_{n-1}\)，其中\(\langle\;F_n\rangle\;\)為費氏(Fibonacci)數列
[解答]
(1)
\(\left\{
\begin{array}{LL}
a_n=4b_{n-1}\\
b_n=2b_{n-1}+a_{n-1}
\end{array}
\right.
\)

化簡後得到\(\displaystyle a_{n+1}=4a_{n-1}+2a_n ,n\geq 2\)

(2)
\(\displaystyle  a_1=0,a_2=4\)
解得

\(\displaystyle \begin{align*}
a_n &=\frac{2}{\sqrt{5}}(1+\sqrt{5})^{n-1}-\frac{2}{\sqrt{5}}(1-\sqrt{5})^{n-1}\\
         &=\frac{1}{\sqrt{5}}\times 2^n\times (\frac{1+\sqrt{5}}{2})^n-\frac{1}{\sqrt{5}}\times 2^n\times (\frac{1-\sqrt{5}}{2})^n\\
         &=2^n[\frac{1}{\sqrt{5}}(\frac{1+\sqrt{5}}{2})^{n-1}-\frac{1}{\sqrt{5}}(\frac{1-\sqrt{5}}{2})^{n-1}]\\
         &=2^n\times F_{n-1}
\end{align*}
\)

PS.\(\displaystyle F_n=\frac{1}{\sqrt{5}}(\frac{1+\sqrt{5}}{2})^n-\frac{1}{\sqrt{5}}(\frac{1-\sqrt{5}}{2})^n\)

計算1
在三角錐\(P-ABC\)中，\(\overline{PA}\)垂直底面\(ABC\)，\(\angle ACB=90^{\circ}\)，\(\overline{AF}⊥\overline{PB}\)、\(\overline{AE}⊥\overline{PC}\)。若\(\overline{PA}=\overline{AB}=2\)，求\(\Delta AEF\)的最大面積是多少？

計算2
設\(x\)為有理數，將\((x+1)(x-2)\)的小數第一位予以「四捨五入」後所得的整數為\(1+5x\) ，則\(x\)的值為多少？

引用:

原帖由 QBey 於 2023-7-6 23:38 發表
自己寫的填充題，計算題沒靈感。

可以請問填5
另一解-1-√6/2不合的理由嗎？
謝謝

應該沒有不合

這題答案應是 √(63 - 24√6) / 2 - 1，大約是 0.0262
以地球半徑約 6400 公里來看，離地球最近只有約 168 公里，幾乎要上演彗星撞地球

感謝鋼琴大回覆解說