回覆 7# a5385928 的帖子
設\(a,b\)為非負整數，\(ab\ne 1\)，且\(\displaystyle k=\frac{a^2+ab+b^2}{ab-1}\)為非負整數。求所有可能的\(k\)值為何？
沒人解答計算3，我來試試看一個方法，但最後還有點不完整，也順便就教於各位老師。
\((a,b)=(0,0)\) 為顯然解就不討論了
假設 \(a\ge b\)
設\(b=1\)，則 \(a-1\mid a^2+a+1\) 且 \( a-1\mid a-1\)，可得 \( a-1\mid 2a+1 \Rightarrow a-1\mid 3\)，得 \(a=2,4\)
設\(b=2\)，則 \(2a-1\mid a^2+2a+4\) 且 \( 2a-1\mid 2a-1\)，可得 \( a-1\mid 5a+8 \Rightarrow 2a-1\mid 21\)，得 \(a=2,4,11\)
同理，如果直接用 \( b \) 來算，可得 \(ba-1\mid a^2+ab+b^2\) 且 \( ba-1\mid ba-1\)，可得 \( ba-1\mid b^4+b^2+1\)
而 \( b^4+b^2+1=(b^2+b+1)(b^2-b+1)\)，可以得出 \(ba-1=1,b^2+b+1,b^2-b+1,b^4+b^2+1\Rightarrow a=\frac{2}{b},b+1+\frac{2}{b},b-1+\frac{2}{b},b^3+b+\frac{2}{b}\)
所以 \(b\) 只能為1或2
但事實上，\(b\) 可以等於4
在 \(b=4\) 時，\(b^4+b^2+1=273=21\times 13\)，而因為\(21\)可以拆成\(3\times 7\)，讓 \( 4a-1\) 有了其他組合而產生解(\(a=10,23\))
我不知道怎麼說明 \( b>4\) 之後，就不會有解（或者 \(b=4\) 為唯一的特例）
