填充第 1 題
在\(1,2,\ldots,2023\)這2023個數字的直線排列中\((a_1,a_2,\ldots,a_{2023})\)中，滿足下列條件的排列有　　　個。
排列條件：恰有一個\(i\in \{\;1,2,\ldots,2023 \}\;\)，使得\(\cases{a_1<a_2<\ldots<a_i\cr a_i>a_{i+1}\cr a_{i+1}<a_{i+2}<\ldots<a_{2023}}\)
[提示]
101 建中考過
參考 Pacers31 老師的妙解
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1457&page=3#pid9579


填充第 7 題
在\(\Delta ABC\)中，\(D,E\)分別在\(\overline{BC}\)與\(\overline{AC}\)上且\(\overline{AD}\)是\(\overline{BC}\)邊的中線，\(\overline{BE}\)是\(\angle B\)的角平分線。若\(\overline{AD}=\overline{BE}\)且\(\overline{AD}\perp \overline{BE}\)，已知\(\overline{BE}=\overline{AD}=4\)，則\(\Delta ABC\)的周長為　　　。
[解答]
設 AD 和 BE 交於 F
△ABF 和 △DBF 全等
AF = DF = 2

作 DG 平行 BE 交 AC 於 G
DG = (1/2)BE = 2，FE = (1/2)DG = 1，FB = 3
AE = EG = GC = √5，AB = BD = CD = √13

所求 = 3√5 + 3√13

填充第 9 題
已知實係數三次函數\(y=f(x)=ax^3+bx^2+cx+d\)滿足下列條件：
(1)若\(f(\alpha)=\beta\)，則\(f(-2-\alpha)=-4-\beta\)恆成立，
(2)存在水平直線與函數\(y=f(x)\)的圖形有三個交點，
(3)\(a,b\)為整數且\(ad=3\)，
則\(f(x)=\)　　　。(寫成\(ax^3+b^2+cx+d\)的形式)
[解答]
存在水平直線與函數 y = f(x) 的圖形有三個交點，且 f(α) + f(-2 - α) = -4
易知 f(x) 的反曲點為 (-1，-2)
b = 3a

又 a、d 為整數，且 ad = 3
可知 f(x) 有以下四種情形
f(x) = x^3 + 3x^2 + cx + 3
f(x) = 3x^3 + 9x^2 + cx + 1
f(x) = -x^3 - 3x^2 + cx - 3
f(x) = -3x^3 - 9x^2 + cx - 1
再利用 f(-1) = -2 和 f'(x) = 0 有兩相異實根，即可求出 f(x)


計算第 1 題
設\(t\)是任意實數，試求\(y=\sqrt{4+4sint}+\sqrt{2+2cost}\)的最大值為何？
[解答]
f(t) = √(4 + 4sint) + √(2 + 2cost)
微分後令其為 0
可得 sint = 4/5，cost = 3/5 時，f(t) 有最大值 2√5


計算第 4 題
三角形\(ABC\)，其中\(a,b\)分別為\(\angle A,\angle B\)的對應邊，則請將\(\displaystyle tan(\frac{C}{2})tan(\frac{A-B}{2})\)用\(a,b\)表示，並證明之。
[解答]
tan(C/2)tan[(A - B)/2]
= cot[(A + B)/2]tan[(A - B)/2]
= {cos[(A + B)/2] / sin[(A + B)/2]}{sin[(A - B)/2] / cos[(A - B)/2]}
= [(1/2)(sinA - sinB)] / [(1/2)(sinA + sinB)] (積化和差)
= (a - b) / (a + b)