k=125, C(1000,250)=1000*999*.....*751/(1*2*3*.....*250) , 750=5^3*6
上面中 751=750+1,752=750+2,.....1000=750+250 , 易知 C(1000,250) 並非 5倍數,就回答了您的問題
原式 要考慮 [ (5+2ㄏ6)^500+(5-2ㄏ6)^500] 易知答案是1
但是在C(1000,500)中，500=5^3×4, 501=500+1,...,625=500+125，625是5^4倍數，125只是5^3的倍數而就會造成C(1000,500)是5的倍數但非25的倍數。
令A=C(1000,r)=（1000/r)((1000-1)/1)((1000-2)/2).......((1000-(r-1))/(r-1))
當1000-r+1》625 ，即r《=375 時 A是5^？的倍數,就只需去看1000/r的表現即可。
但375《r《=500時，因分子有出現625,
625/375=5/3,就會在此多出一個5,請要注意，其他的5都會約分掉的，例如（1000-25）/25=39/1,（1000-75）/75=37/3,（1000-80）/80=23/2，由上述知道當r為偶數時就只有C(1000,250)=C(1000,750)這兩個是非5倍數，其餘都會是5的倍數。

[ 本帖最後由 laylay 於 2023-5-10 07:48 編輯 ]

不妨設z最小=》z=1/(xy)<=1 => xy>=1
當y>=1時
左式-右式=x/y+xy^2+1/(x^2y)-x-y-1/(xy)
=((y^3-y+1)x^3-(y^2)x^2-x+1)/(x^2y)
其分母>0,其分子- 恆正或零的（x^2-1)(x-1）=x^2(y^2-1)(xy-1)>=0, 故分子>=0    =》  左式>=右式(等號成立於x=1,y=1,z=1時)，
至於y<1的話再請大家思考了！

[ 本帖最後由 laylay 於 2023-5-10 15:03 編輯 ]

當C在x軸上方時
令 t = AC斜率=y/(x+1)=tan(角A)
BC斜率=y/(x-2)=tan(180度-2角A)=-2t/(1-t^2)=-2y/(x+1)/(1-y^2/(x+1)^2)=-2y(x+1)/((x+1)^2-y^2)
1/(x-2)=-2(x+1)/((x+1)^2-y^2) => x^2-y^2/3=1 , x>1 (角B>角A=> CA>CB,C在AB中垂線x=1/2之右,故C只在雙曲線的右支,右頂點(1,0))
當C在x軸下方時,C之軌跡圖形與上述圖形對稱x軸,故答案依舊如上
當角A趨近於零度時 , CA:CB=sin(2角A):sin(角A)=2sin(角A)cos(角A):sin(角A)=2cos(角A):1 趨近於 2:1,此時 C趨近於右頂點(1,0)

[ 本帖最後由 laylay 於 2023-5-11 12:25 編輯 ]

填充14.
由直線系的參數式x=k+2021t,y=k+2022t,z=k+2023t.
知道所有直線剛好編織成平面E:x+z=2y
故所求=P至E的距離=|2-6-4|/根號6

[ 本帖最後由 laylay 於 2023-5-12 08:54 編輯 ]

令 k=x-2 , x=k+2 , 原式 => k^6-k^3-5k^2-13k-10<0 有 -1,2 的根 => (k+1)(k-2)(k^4+k^3+3K^2+4k+5)<0
令 f(k)=k^4+k^3+3K^2+4k+5 , f`=4k^3+3K^2+6k+4 , f``=12k^2+6k+4 , D=6^2-4*12*4<0 => f`` 恆正 => f` 遞增
f`(-1)=-3<0,f`(0)=4>0 , f(k)的最小值發生在 f`(k)=0 => -1<k<0 , 此時  f(k)>5+4k+k^3>5-4-1=0 顯示  f(k) 恆正
故 原式 =>(k+1)(k-2)<0 => -1<k<2 => 1<x<4

[ 本帖最後由 laylay 於 2023-5-15 10:13 編輯 ]

所求=2022*(1-1/2023)^3
       =2022*(1-3/2023+3/2023^2-1/2023^3)接近 2022-3=2019 (計算機按出 2019.00296)

設 AB=3t,AC=t ,  3t+t>4,3t-t<4 => 1<t<2 , 周長之半=(3t+t+4)/2=2t+2,令k=t^2
則面積=ㄏ((2t+2)(2t+2-3t)(2t+2-t)(2t+2-4))=2ㄏ((k-1)(4-k))<=2*((k-1)+(4-k))/2=3 ,
故面積最大值=3 ,此時 t=ㄏk=ㄏ(5/2)