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第 8 題:
小南打算接下來的9天每天都會從土司、小籠包、鍋貼三種選擇一種當作當天的早餐,但不連續兩天吃土司,則這9天早餐安排的方式有幾種?
[解答]
設小南接下來的 \(n\) 天每天都會從土司、小籠包、鍋貼三種選擇一種當作當天的早餐,
但不連續兩天吃土司的 \(n\) 天早餐安排法有 \(a_n\) 種,則
\(\displaystyle a_1 = 3, a_2 = 8, a_n = 2\times a_{n-1} + 1\times 2\times a_{n-1}, \forall n\geq 3\),
(說明:若第一天不吃吐司,則第一天有兩種選擇,且剩下\(n-1\)天有\(a_{n-1}\) 種安排法,
若第一天吃吐司,則第一、二天共有 \(1\times2\)種選擇,且剩下 \(n-2\) 天有 \(a_{n-2}\) 種安排法。)
得 \(\displaystyle a_3 = 2\left(a_2+a_1\right) = 22, a_4 = 2\left(a_3+a_2\right) = 60, ..., a_9 = 9136\) 。
註:通解 \(\displaystyle a_n = \frac{3-2\sqrt{3}}{6}\left(1-\sqrt{3}\right)^n+\frac{3+2\sqrt{3}}{6}\left(1+\sqrt{3}\right)^n\)