選3
3.
試問方程組\(\cases{sin^2x+cos^2y=y^2\cr sin^2y+cos^2x=x^2}\)的所有實數對解\((x,y)\)共有幾組？
(A)3　(B)4　(C)6　(D)8　(E)9
[解答]
比較不嚴謹的解法~
(sinx)² +(cosy)² =y² --------(1)
(siny)² +(cosx)² =x² --------(2)
(1)+(2)得x²+y²=2-------(3)
又令x=y代入(1)得(2)
令x=-y代入(2)得(1)
所以其解符合x=y-----(4) ,x=-y-----(5)
由(3)&(4)&(5)畫圖可知有四個交點
(註:還需說明沒有其他解存在)

選14:
已知\(a\)為整數，且\(0\le x,y,z\le 2\pi\)，試問滿足方程式\(a(cos2x+cos2y+cos2z)+2(1-a)(cosx+cosy+cosz)=9a-6\)的實數解\((x,y,z)\)共有幾組？
(A)1　(B)2　(C)3　(D)4　(E)5
[解答]
我覺得他選項出錯了
光是當a=1時,代入原式
得cos(2x)+cos(2y)+cos(2z)=3
cos(2x)=1,cos(2y)=1,cos(2z)=1
x,y,z=0°或180°
在這a=1情況下,(x,y,z)就會有8組解------(*)

引用:

原帖由 godofsong 於 2022-6-12 14:26 發表
想請教第8題跟第15題，謝謝
其中，第15題的(m,n)我只有解出(6,5)、(5,6)兩組解，不知第三個解是？

選8:
\(\Delta ABC\)中，若三邊長\(a,b,c\)分別是\(\angle A,\angle B,\angle C\)的對邊，且\(a,b,c\)成等差數列，則\(\displaystyle tan\frac{A}{2}\cdot tan\frac{C}{2}\)的值為何？
(A)\(\displaystyle \frac{1}{4}\)　(B)\(\displaystyle \frac{1}{3}\)　(C)\(\displaystyle \frac{1}{2}\)　(D)\(\displaystyle \frac{2}{3}\)　(E)\(\displaystyle \frac{3}{4}\)
[解答]
是考古題
假設圓I 是△ABC的內切圓,r為內切圓半徑
D,E,F分別是圓I在BC,CA,AB的切點
令AF=AE=x,BD=BF=y,CD=CE=z
因為a.b.c成等差,所以x+z=2y------------(1)
tan(A/2)*tan(C/2)=r² /(xz) -------------(2)
又r²=△² /s²  =(x+y+z)(xyz)/ (x+y+z)² =(xyz)/ (x+y+z)
[△表示△ABC面積,s=(a+b+c)/2=x+y+z ]
代入(2)得所求=y/ (x+y+z) =y/ [y+(x+z)] =y/3y= 1/3  (by(1))