11. 考場沒做出來，回去後才想到....

OPAB是一個圓內接四邊形，假設正方形的邊長為\(2a\)
則有\(\displaystyle \overline{OB}=\sqrt{2}a,\overline{AB}=2a, \overline{PB}=\sqrt{4a^2-8}\)

由托勒密定理得到\(\displaystyle a^2=\frac{29}{2}\)

則所求\(\displaystyle \overline{PB}=\sqrt{58-8}=5\sqrt{2}\)

15.
空間中有一個邊長為6的正四面體\(OABC\)，平面\(ABC\)上一點\(P\)滿足\(\displaystyle \vec{OP}=\frac{1}{2}\vec{OA}+\frac{1}{3}\vec{OB}+\frac{1}{6}\vec{OC}\)。若通過\(P\)點且相異於平面\(ABC\)的另一平面分別與射線\(\overline{OA}\)、\(\overline{OB}\)、\(\overline{OC}\)交於\(A'\)、\(B'\)、\(C'\)，求此平面與\(\overline{OA}\)、\(\overline{OB}\)、\(\overline{OC}\)三射線圍出四面體\(OA'B'C'\)中體積的最小值為　　　。
[解答]
第一眼被嚇到，但後來發現還好

假設平面E交\(\displaystyle \overline{OA},\overline{OB},\overline{OC}\)於\(A',B',C\)

且設\(\displaystyle \overline{OA'}=x\overline{OA} , \overline{OB'}=y\overline{OB} , \overline{OC'}=z\overline{OC}\)

由P點落在\(A'B'C'\)平面上可知\(\displaystyle \frac{3}{x}+\frac{2}{y}+\frac{1}{z}=6\)
求\(xyz\)的最小值，由算幾不等式易求得\(xyz \geq \displaystyle \frac{3}{4}\)

因此所求體積\(V'\)為原本的體積\(V\)的\(\displaystyle \frac{3}{4}\)倍
得\(\displaystyle V'=\frac{3}{4}\cdot 18\sqrt{2}=\frac{27\sqrt{2}}{2}\)


剛剛發現的偷吃步方法

坐標化求P點，在\(\displaystyle \overline{OA},\overline{OB},\overline{OC}\)取\(A',B',C'\)
讓\(\displaystyle \triangle{A'B'C'}\)的重心為P
此時圍出的四面體\(O-A'B'C'\)即為所求的最小體積四面體