填充2.
彰化女中籃球校隊想招收隊員，某參加甄選的學生聲稱自身的投籃命中率\(p\ge 0.4\)，校方想透過檢定的方式來決定她的聲稱是否採信。假設「此學生的投籃命中率\(p\ge 0.4\)」且「投籃直到第一次進球共需\(X\)次」，在顯著水準為0.05的條件之下，求隨機變數\(X\)的拒絕域為　　　。(\(log2\approx 0.3010\)，\(log3\approx 0.4771\))
[解答]
合理性檢定，相關內容可參考龍騰第六冊(數甲下)單元02，或者估狗"假設檢定"找到更詳細的說明。
我覺得我的算法是對的，可是跟答案差了一點，來請各路高手幫忙檢視一下。

假設該生命中率\( p\) 就是\( 0.4\)，\(X\)為投籃到第一次進球總共所需次數，因\(X\)服從幾何分配，故
\( \displaystyle P(X=k)=0.6^{k-1}\times0.4 \)，因顯著水準訂為0.05，是故k的最小值應滿足
\( \displaystyle \sum_{i=k}^{\infty} P(X=i) <0.05 \) 且 \( \displaystyle P(X=k-1) + \sum_{i=k}^{\infty} P(X=i) \geq 0.05 \)
由\( \displaystyle \sum_{i=k}^{\infty} P(X=i) <0.05 \) 可得 \( \displaystyle 0.4\times(0.6^{k-1}+0.6^k+0.6^{k+1} + \dots )<0.05 \)
化簡得\( 0.05 > 0.6^{k-1} \)，借助常用對數可得 \( k > 6.8... \)，因此拒絕域為 \( X \geq 7 \)。

回家後以EXCEL求值確認 \( P(X=6)+P(X=7)+...=0.07776 \) 而 \( P(X=7)+P(X=8)+...=0.046656\)。
有沒有可能題目的\( X \)，所代表的是直到投進第一次前，投球沒進的次數？

而後面的填充13，題目也沒講清楚 a>b 還是b>a，雖然我們熟悉的設定都是長軸2a，但還是覺得出題時可以定義的更清楚。

計算1.
\( \pi^e \)和\( e^\pi \)誰比較大？
可參考以下影片 ： https://www.youtube.com/watch?v=SPHD7zmLVa8
另外影片下方留言區有強者網友提供更簡潔的方法
考慮\( e^x\)的泰勒展開式\(\displaystyle e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+...\)，故\(\displaystyle e^x>1+x\)
令\( x=\frac{\pi}{e}-1\)，則 \( e^{\frac{\pi}{e}} \times e^{-1}> \pi \times e^{-1} \) 故 \(\displaystyle e^{\frac{\pi}{e}}>\pi \)
兩邊同時\(e\)次方，得\( e^\pi > \pi^e  \)。