111臺南一中二招

計算3.

不失一般性，設 f(x) 首項係數為 1，
由原題條件得：
f(x) = (1/n) f'(x) (x-k), 其中 k 為某實數。
對上式微分並整理有：
f'=(1/(n-1))f''(x)(x-k)，
再微分，依此類推得
f(x) = (1/n!) f^(n)(x) (x-k)^n
注意到， f^(n)(x) =n!
故 f(x) = (x-k)^n
有唯一實根（n 重根），有唯一極值點，n 為奇數時有唯一反曲點，n 為偶數時無反曲點。