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填充3. 令 \( t = x^4 \)
則 \( t^2 + at +1 = 0 \)
令 \( t_1, t_2 \) 為 \( t^2 + at +1 = 0 \) 之兩根，顯然 \( t_1 \neq 0 \), \( t_2 \neq 0 \)
則原 \( x^8 + ax^4 +1 = 0\) 可分解為 \( (x^4 - t_1)(x^4 - t_2) = 0\)
若 \( t_1 \) 為負實數或虛數，則 \( x^4 - t_1 =0 \) 沒有實根。
若 \( t_1 \) 為正實數，則 \( x^4 - t_1 =0 \) 有兩實根。
類似地， 針對 \( t_2 \) 有類似的結果。
因此在題幹方式程有四個實根的情況， \( t_1, t_2 \) 均為正實數
此四個實根為 \( \pm \sqrt[4]{t_1}, \pm \sqrt[4]{t_2} \)
又此四實根等差，故可改寫為 \( \pm 3b, \pm b \)
因此 \( x^8 + ax^4 +1 = (x^4-81b^4)(x^4-b^4) \Rightarrow b = \frac{1}{\sqrt{3}}, a = - 9 - \frac19 = -\frac{82}{9} \)
