數學二試題15.
已知一個四邊形邊長依序為\(70,90,130,110\)，該四邊形外切於一圓且內接於另一圓，若內切圓之一切點將長度為130之邊分為\(x\)與\(y\)二線段長\((x<y)\)，則\(x:y=\)　　　。(最簡整數比)
[解答]
不妨四邊長都縮1/10,設四邊形ABCD的內切圓半徑r,AB上的切點為E,BC上的切點為F
,CD上的切點為G,DA上的切點為H,四切點與四頂點都跟內心各自連線形成八個直角三角形,令AE=AH=a,則另外的六個線段長馬上跟著決定,
再由四邊形ABCD內接一圓對角互補可得兩組相似三角形=>a/r=r/(a-4) , (13-a)/r=r/(11-a)
=>a(a-4)=(13-a)(11-a)=>a=143/20=y ,13-a=117/20=x =>x;y=117:143=9:11

令f(x)=x^2/1.3225^x,則 f'(x)=x/1.3225^x*(2-x*ln1.3225),可知f(x)函數是先遞增後遞減
故本題只須要求f(k)/f(k+1)=1.3225k^2/(k^2+2k+1)>=1,找最小的k即可
=> 0.3225k^2-2k-1>=0 => k>=(2+ㄏ5.289)/0.6445=大約6.67
故所求的k=7