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109台中女中段考題

設(10,y) 則\(\displaystyle \overline{PA}=\sqrt{100+y^2}, \overline{PB}=\sqrt{64+(y-6)^2}\)
\(\displaystyle \frac{\overline{PA}}{\overline{PB}}=\frac{\sqrt{100+y^2}}{\sqrt{64+(y-6)^2}}\)
令\(\displaystyle \frac{\overline{PA}^2}{\overline{PB}^2}\)為\(k\)
得到\(\displaystyle y^2+100=ky^2+12ky+100k\) 化簡得\(\displaystyle (1-k)y^2-12ky+(100-100k)=0\)
因\(\displaystyle y\in \mathbb{R}\) 得到\(\displaystyle 144k^2-400(1-k)^2\geq 0\)

解得\(\displaystyle \frac{5}{8}\leq k \leq \frac{5}{2}\) 最大值為 \(\displaystyle \frac{5}{2}\)
代回去原式子解得此時\(y=10\) 即P(10,10) 之後驗證即可

後記: 算幾也可以 而且還比較簡單...

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