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直角三角形面積固定時的外接圓半徑與內切圓半徑的極值

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直角三角形面積固定時的外接圓半徑與內切圓半徑的極值

某直角三角形面積是A,請問其外接圓半徑的最小值是什麼(以A表示)?內切圓半徑的最大值又是什麼(以A表示)?如何證明此結論?謝謝!

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回復 1# 克勞棣 的帖子

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回復 2# Lopez 的帖子


敝人在其他地方也問了這個問題,關於內切圓半徑r的部分,得到的回答如上(其中a,b是兩股長,c是斜邊長)

紅框內的算式,貌似是把「a+b的最小值」與「c的最小值」分開處理後再加起來:
a+b >= 2√(ab)....根據算幾不等式
c=2R >= 2√A....根據前面「R的最小值」的計算結果

解題者應該是認為已知「a+b的最小值」的成立時機與「c的最小值」的成立時機是相同的(兩者都是當a=b時),所以可以直接把兩個不等式加起來,
請問這樣做是合理的嗎?謝謝!

[ 本帖最後由 克勞棣 於 2021-11-30 11:03 編輯 ]

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回復 3# 克勞棣 的帖子

c=2R是在外接圓的時候成立,卻用在內切圓的計算??

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回復 4# Lopez 的帖子

抱歉!是我陳述有誤,這跟外接圓的確沒有關係,敝人修正如下:
根據算幾不等式,c^2=a^2+b^2>=2√(a^2*b^2)=2ab=4A
因此c>=2√A,等號成立於a^2=b^2,即a=b時。

所以請問前述解題者這樣算是合理的嗎?

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回復 5# 克勞棣 的帖子

合理.

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