當a<=20,b<=100,a<=b時有五組解,都是平方數.
1. (1^2+1^2)/(1*1+1)=1
2. (2^2+8^2)/(2*8+1)=4
3. (3^2+27^2)/(3*27+1)=9
4. (4^2+64^2)/(4*64+1)=16
5. (8^2+30^2)/(8*30+1)=4

不客氣,我是覺得這個正整數解有無限多組解,不知有沒有人會證明 或 證明是有限解?
還有k=(a^2+b^2)/(ab+1)為正整數時有最大值嗎?

[ 本帖最後由 laylay 於 2021-11-17 08:51 編輯 ]

感謝您,[(2m)^2+(8m^3)^2]/[(2m)(8m^3)+1]=(2m)^2,只要k給定任意偶數的平方,a,b都一定有正整數解,本來想要再請問若k給定任意奇數的平方,那a,b也都一定有正整數解嗎?  
例如給定k=3^2,則可找到a=3,b=27,使 (3^2+27^2)/(3*27+1)=3^2
後來發現,其實在(a^2+b^2)/(ab+1)=k中,我們只要令a^2/ab=b^2/1,即a=b^3,就可以得到k=(a^2+b^2)/(ab+1)=a^2/ab=b^2/1=b^2,
當然b要成為任何的奇數或偶數都是沒有問題的.
例如給定k=7^2,那麼a=7^3 ,b=7 就會是一組整數解.
       給定k=18^2,那麼a=18^3 ,b=18 就會是一組整數解.

[ 本帖最後由 laylay 於 2021-11-22 11:54 編輯 ]

謝謝,把題目改成(a^3+b^3)/(ab+1)=k,令k=a^3/(ab)=b^3/1=b^3,此時a=b^2,
也就是k為立方數時a,bㄧ定有整數解,本來想問a,b,k都為整數時,k一定為立方數嗎?
後來卻發現令b=1,則k=(a^3+1)/(a+1)=a^2-a+1不一定為立方數.
把題目改成a,b,k為正整數,且(a^4+b^4)/(ab+1)=k,請大家來研究一下正整數的k到底有何特色呢?
我除了a=n^3,b=n^5,k=n^12的解之外就只找到(a,b,k)=(3,11,433),(8,12,256)的解了.

[ 本帖最後由 laylay 於 2021-11-22 12:47 編輯 ]