令 (a^2 + b^2) / (ab + 1) = k，其中 k 是完全平方數

取 a = 2m，其中 m 是正整數

整理可得 b^2 - 2mkb + (4m^2 - k) = 0

b = mk + √[(mk)^2 + (k - 4m^2)] (取其較大的根就好)

最後再取 k = 4m^2 = (2m)^2

此時 b = 2mk

即可證明 k 有無限多解，當然就沒有最大值了

[ 本帖最後由 thepiano 於 2021-11-17 11:23 編輯 ]

引用:

原帖由 laylay 於 2021-11-22 11:20 發表 若k給定任意奇數的平方,那a,b也都一定有正整數解嗎?

其實做法一樣

令 (a^2 + b^2) / (ab + 1) = k，其中 k 是完全平方數

取 a = 2m - 1，其中 m 是正整數

整理可得 b^2 - (2m - 1)kb + ((2m - 1)^2 - k) = 0

b = {(2m - 1)k + √[(2m - 1)^2k^2 - 4((2m - 1)^2 - k)]} / 2 (取其較大的根就好)

最後再取 k = (2m - 1)^2

此時 b = (2m - 1)k = (2m - 1)^3

即可證明若 k 給定任意奇數的平方，a 和 b 仍有正整數解

引用:

原帖由 laylay 於 2021-11-22 11:20 發表
後來發現,其實在(a^2+b^2)/(ab+1)=k中,我們只要令a^2/ab=b^2/1,即a=b^3,就可以得到k=(a^2+b^2)/(ab+1)=a^2/ab=b^2/1=b^2,
當然b要成為任何的奇數或偶數都是沒有問題的.

這種超強的觀察力，小弟是沒有的