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請教一題證明

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請教一題證明

如圖,想請教各位老師,這題能怎麼解答。
想了一天還是沒想到作法...

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2021-11-16 10:25

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用根與係數關係式+反證法,詳見如下:

https://buzzorange.com/techorang ... gend-of-question-6/

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回復 1# icegoooood 的帖子

當a<=20,b<=100,a<=b時有五組解,都是平方數.
1. (1^2+1^2)/(1*1+1)=1
2. (2^2+8^2)/(2*8+1)=4
3. (3^2+27^2)/(3*27+1)=9
4. (4^2+64^2)/(4*64+1)=16
5. (8^2+30^2)/(8*30+1)=4

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回復 2# weiye 的帖子

太厲害了....   用明明都知道的定理跟技巧,卻破了這個難題...
難怪數學這麼有趣XD        (而且到今天才知道原來用到爛的根與係數的正式名稱是「韋達定理」....  真是受教了... )

感謝 weiye老師的熱心解答!!!!

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回復 3# laylay 的帖子

謝謝 laylay老師的幫助!       這樣跟其他人解釋題目的時候,拿出實解,能更好讓人理解!

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回復 1# icegoooood 的帖子

我比較好奇的是,為什麼要限定a,b都是「正」整數?

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回復 5# icegoooood 的帖子

不客氣,我是覺得這個正整數解有無限多組解,不知有沒有人會證明 或 證明是有限解?
還有k=(a^2+b^2)/(ab+1)為正整數時有最大值嗎?

[ 本帖最後由 laylay 於 2021-11-17 08:51 編輯 ]

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回復 6# 克勞棣 的帖子

痾  因為拿到題目寫的時候,題目就這樣規定

不過可以思考看看如果是規定整數的時候,能不能有一樣的結論。

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回復 7# laylay 的帖子

好問題耶!    我也來思考看看!

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回復 7# laylay 的帖子

令 (a^2 + b^2) / (ab + 1) = k,其中 k 是完全平方數

取 a = 2m,其中 m 是正整數

整理可得 b^2 - 2mkb + (4m^2 - k) = 0

b = mk + √[(mk)^2 + (k - 4m^2)] (取其較大的根就好)

最後再取 k = 4m^2 = (2m)^2

此時 b = 2mk

即可證明 k 有無限多解,當然就沒有最大值了

[ 本帖最後由 thepiano 於 2021-11-17 11:23 編輯 ]

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