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2022亞太數學奧林匹亞競賽初選試題

回復 1# newsonica 的帖子

非選第2題
已知非負實數\(a,b,c,d\)滿足\(a+2b+3c+4d=1\)且\((a+b)(c+d)^2=(a+c)(b+d)^2=k.\)則\(k\)的最大值為何?又該最大值在何時發生?
[解答]
\(\begin{align}
  & \left( 1 \right)b=c \\
& \frac{1}{3}=\frac{a+2b+3c+4d}{3}=\frac{\left( a+b \right)+2\left( c+d \right)+2\left( c+d \right)}{3}=\frac{\left( a+c \right)+2\left( b+d \right)+2\left( b+d \right)}{3}\ge \sqrt[3]{4k} \\
& k\le \frac{1}{108} \\
\end{align}\)
等號成立於\(b=c=\frac{1}{3}-a=\frac{1}{6}-d\)
\(\begin{align}
  & \left( 2 \right)b>c \\
& \frac{1}{3}=\frac{a+2b+3c+4d}{3}>\frac{\left( a+b \right)+2\left( c+d \right)+2\left( c+d \right)}{3}\ge \sqrt[3]{4k} \\
& k<\frac{1}{108} \\
&  \\
& \left( 3 \right)b<c \\
& \frac{1}{3}=\frac{a+2b+3c+4d}{3}>\frac{\left( a+c \right)+2\left( b+d \right)+2\left( b+d \right)}{3}\ge \sqrt[3]{4k} \\
& k<\frac{1}{108} \\
\end{align}\)

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回復 3# enlighten0626 的帖子

選填第3題
考慮像下圖一樣的數值三角形,在兩條邊上依序填入\(0,1,2,\ldots\),而三角形內部的數字則跟巴斯卡三角形一樣,是上列相鄰的兩數字的和。
\(\matrix{&&&&&0&&&&&\cr
&&&&1&&1&&&&\cr
&&&2&&2&&2&&&\cr
&&3&&4&&4&&3&&\cr
&4&&7&&8&&7&&4&\cr
\ldots&&\ldots&&\ldots&&\ldots&&\ldots&&\ldots}\)
所以第一列所有數字的總和是0,第二列所有數字的總和是2,第三列所有數字的總和是6。而第2022列的總和除以1000的餘數是   
[解答]
\(\begin{align}
  & {{2}^{10}}\equiv 24\ \left( \bmod \ 1000 \right) \\
& {{2}^{20}}\equiv {{24}^{2}}\equiv 576\ \left( \bmod \ 1000 \right) \\
&  \\
& {{576}^{2}}\equiv 776\ \left( \bmod \ 1000 \right) \\
& {{576}^{3}}\equiv 976\ \left( \bmod \ 1000 \right) \\
& {{576}^{4}}\equiv 176\ \left( \bmod \ 1000 \right) \\
& {{576}^{5}}\equiv 376\ \left( \bmod \ 1000 \right) \\
& {{576}^{6}}\equiv 576\ \left( \bmod \ 1000 \right) \\
&  \\
& {{2}^{2022}}={{\left( {{2}^{20}} \right)}^{101}}\times 4\equiv {{576}^{101}}\times 4\equiv 576\times 4\equiv 304\ \left( \bmod \ 1000 \right) \\
& {{2}^{2022}}-2\equiv 302\ \left( \bmod \ 1000 \right) \\
\end{align}\)

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非選第 1 題
設\(ABCD\)為凸四邊形,其中直線\(AB\)與\(CD\)不平行,同時令點\(P\)為兩對角線\(AC,BD\)的交點。在\(PD\)線段中取一點\(M\)、在\(PC\)線段中取一點\(N\)使得\(PM=PN\)。若\(\angle CAB=\angle CDB\),試證:直線\(MN\)與直線\(AB\)的夾角,等於直線\(MN\)與直線\(CD\)的夾角。
[解答]
∠AEN = ∠PNM - ∠CAB = ∠PMN - ∠CDB = ∠DEN

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2021-12-1 19:19

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