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2022亞太數學奧林匹亞競賽初選試題

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2022亞太數學奧林匹亞競賽初選試題

請教非選第二題!謝謝~

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2022APMO初選第一階段_考題含第一部分解答.pdf (199.61 KB)

2021-11-15 13:07, 下載次數: 201

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回復 1# newsonica 的帖子

非選第2題
\(\begin{align}
  & \left( 1 \right)b=c \\
& \frac{1}{3}=\frac{a+2b+3c+4d}{3}=\frac{\left( a+b \right)+2\left( c+d \right)+2\left( c+d \right)}{3}=\frac{\left( a+c \right)+2\left( b+d \right)+2\left( b+d \right)}{3}\ge \sqrt[3]{4k} \\
& k\le \frac{1}{108} \\
\end{align}\)
等號成立於\(b=c=\frac{1}{3}-a=\frac{1}{6}-d\)
\(\begin{align}
  & \left( 2 \right)b>c \\
& \frac{1}{3}=\frac{a+2b+3c+4d}{3}>\frac{\left( a+b \right)+2\left( c+d \right)+2\left( c+d \right)}{3}\ge \sqrt[3]{4k} \\
& k<\frac{1}{108} \\
&  \\
& \left( 3 \right)b<c \\
& \frac{1}{3}=\frac{a+2b+3c+4d}{3}>\frac{\left( a+c \right)+2\left( b+d \right)+2\left( b+d \right)}{3}\ge \sqrt[3]{4k} \\
& k<\frac{1}{108} \\
\end{align}\)

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想請教填充3&5 和非選一
填充5 算到總和為2^2022-2 但是除以1000的餘數算不出來

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回復 3# enlighten0626 的帖子

選填第3題
\(\begin{align}
  & {{2}^{10}}\equiv 24\ \left( \bmod \ 1000 \right) \\
& {{2}^{20}}\equiv {{24}^{2}}\equiv 576\ \left( \bmod \ 1000 \right) \\
&  \\
& {{576}^{2}}\equiv 776\ \left( \bmod \ 1000 \right) \\
& {{576}^{3}}\equiv 976\ \left( \bmod \ 1000 \right) \\
& {{576}^{4}}\equiv 176\ \left( \bmod \ 1000 \right) \\
& {{576}^{5}}\equiv 376\ \left( \bmod \ 1000 \right) \\
& {{576}^{6}}\equiv 576\ \left( \bmod \ 1000 \right) \\
&  \\
& {{2}^{2022}}={{\left( {{2}^{20}} \right)}^{101}}\times 4\equiv {{576}^{101}}\times 4\equiv 576\times 4\equiv 304\ \left( \bmod \ 1000 \right) \\
& {{2}^{2022}}-2\equiv 302\ \left( \bmod \ 1000 \right) \\
\end{align}\)

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回復 3# enlighten0626 的帖子

非選第 1 題
∠AEN = ∠PNM - ∠CAB = ∠PMN - ∠CDB = ∠DEN

[ 本帖最後由 thepiano 於 2021-12-1 19:23 編輯 ]

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20201201.jpg (28.73 KB)

2021-12-1 19:19

20201201.jpg

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