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直角三角形斜邊上的中垂線與一股的交點

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直角三角形斜邊上的中垂線與一股的交點

有直角三角形ABC,∠C是直角,∠A≦∠B,線段AB的中垂線分別交線段AB、線段AC於D,E兩點
(1)若三角形ADE面積是三角形ABC面積的三分之一,證明∠A=30°。
(2)若三角形ADE面積是三角形ABC面積的n分之一,證明2≦n<4。
謝謝!

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回復 1# 克勞棣 的帖子

(1) 定義 AD=BD=1單位長, ∠A=θ
則 DE=tanθ, BC=2sinθ, AC=2cosθ
0.5*2sinθ*2cosθ=ABC面積=3*ADE面積=3*0.5*1*tanθ=1.5*sinθ/cosθ
化簡得cos²θ=3/4
cosθ = ± √3 / 2 (負不合)
∠A = θ = 30°

(2) 仿(1)得 cos²θ=n/4
√2 / 2 = cos45° ≤ cosθ = √n / 2 < cos0° = 1
2 ≤ n < 4

[ 本帖最後由 Lopez 於 2021-10-9 11:30 編輯 ]

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