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滿足abc=(b+c-a)(a+c-b)(a+b-c)的三角形必然是正三角形嗎?

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滿足abc=(b+c-a)(a+c-b)(a+b-c)的三角形必然是正三角形嗎?

a,b,c是某三角形的三邊長,且abc=(b+c-a)(a+c-b)(a+b-c),則該三角形必然是正三角形嗎?
(正三角形顯然滿足這個等式,但滿足這個等式者必然是正三角形嗎?)

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回復 2# satsuki931000 的帖子

謝謝!這個方法比我預想的方法還漂亮。
題目的等式是我由正三角形的某個充分必要條件推出的,所以逆推回去可以知道滿足該等式者必為正三角形。

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回復 4# satsuki931000 的帖子

「外接圓半徑=2*內切圓半徑」

設R是此三角形的外接圓半徑,r是內切圓半徑,s是半周長,A是面積,則
A=abc/(4R) → 左式=4RA
A=√(s(s-a)(s-b)(s-c)) → 右式=8A^2/s
因此4RA=8A^2/s → R=2A/s=2(rs)/s=2r
根據歐拉定理「R≧2r,等號成立於三角形是正三角形時」,知其為正三角形

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