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滿足abc=(b+c-a)(a+c-b)(a+b-c)的三角形必然是正三角形嗎?

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令\(A=b+c-a,B=a+c-b,C=a+b-c\)
則原式可以改寫成以下等式

\(\displaystyle \frac{(A+B)(B+C)(C+A)}{8}=ABC\)
由算幾不等式得知\(\displaystyle \frac{A+B}{2}\geq \sqrt{AB}\)
同理: \(\displaystyle \frac{B+C}{2}\geq \sqrt{BC}\) , \(\displaystyle \frac{C+A}{2}\geq \sqrt{CA}\)
三式相乘即得\(\displaystyle \frac{(A+B)(B+C)(C+A)}{8} \geq ABC\)
等號成立在\(A=B=C\)之時,進一步還原得\(a=b=c\)

所以\(a,b,c\)若滿足題目等式,則必為正三角形

[ 本帖最後由 satsuki931000 於 2021-9-27 21:24 編輯 ]

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引用:
原帖由 克勞棣 於 2021-9-27 22:54 發表
謝謝!這個方法比我預想的方法還漂亮。
題目的等式是我由正三角形的某個充分必要條件推出的,所以逆推回去可以知道滿足該等式者必為正三角形。
想請問是哪個充分必要條件

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