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正整數x除以10、12、14所得餘數都是質數,求x的所有可能解

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14以下的質數有3,5,7,11,13,故x的一個可能為
\(\left\{ \begin{array}{l}
x \equiv 3(\bmod {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} 10)\\
x \equiv 5(\bmod {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} 12)\\
x \equiv 7(\bmod {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} 14)
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x \equiv 3(\bmod {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} 5)\\
x \equiv 2(\bmod {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} 3)\\
x \equiv 0(\bmod {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} 7)\\
x \equiv 1(\bmod {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} 4)
\end{array} \right. \Leftrightarrow x \equiv ( - 84) \cdot 3 + ( - 140) \cdot 2 + 120 \cdot 0 + 105 \cdot 1 \equiv 413(\bmod {\kern 1pt} {\kern 1pt} 420)\)

更一般的情況可寫為
\(\left\{ \begin{array}{l}
x \equiv a(\bmod {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} 5)\\
x \equiv b(\bmod {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} 3)\\
x \equiv c(\bmod {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} 7)\\
x \equiv d(\bmod {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} 4)
\end{array} \right. \Leftrightarrow x \equiv ( - 84) \cdot a + ( - 140) \cdot b + 120 \cdot c + 105 \cdot d(\bmod {\kern 1pt} {\kern 1pt} 420)\)

模10模12模14模5同餘a模3同餘b模7同c模4同餘dx=-84a-140b+120c+105d 模420
3573201413
3511324153
35133261293
3753153103
37113143403
37133163223
31153253383
31173203203
31113326383
5370003315
53110043375
53130063195
5730133115
57110143235
5713016355
51130233395
5117020335
511130263335
7352053327
73112043207
7313206327
753223117
75112241137
75132261377
71132233227
7115225347
711132263167
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回復 3# 克勞棣 的帖子

是中國剩餘定理。

算式就是排列組合
模 10, \( r_1 \) 可為 3,5,7
模 12, \( r_2 \) 可為 3,5,7,11
模 14, \( r_3 \)可為 3,5,7,13
且要求兩兩相異,故有 \( (r_1,r_2,r_3) \) 有 \( 3 \times (4-1) \times (5-2) = 27 \) 組
而每一組 \( (r_1,r_2,r_3) \) 都恰好對應一個 \( x \) 的解,故滿足條件的 \( x \) 有 27 個
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回復 5# 克勞棣 的帖子

對,筆誤,漏掉11了

(1) 你證完了
(2) 不知道是否有發現:「質數 2 被我刻意略過了」,因為放入 (2,3,5) 會無解。
另一件事,則是為了解同餘方程,將原本三個的條件,拆解成四個式子了,但實際上是 六個式子,只是其中有三條式子相同。而在 (2,3,5) 的情況,則會得到矛盾的式子,表示無整數解。

\(\left\{ \begin{array}{l}
x \equiv 2(\bmod {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} 10)\\
x \equiv 3(\bmod {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} 12)\\
x \equiv 5(\bmod {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} 14)
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x \equiv 2(\bmod {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} 5)\\
x \equiv 2(\bmod {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} 2)\\
x \equiv 3(\bmod {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} 3)\\
x \equiv 3(\bmod {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} 4)\\
x \equiv 5(\bmod {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} 7)\\
x \equiv 5(\bmod {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} 2)
\end{array} \right. \)

其中,一個式子對應兩個式子,\( \Leftarrow \) 的理由和(1)相同

沒有質數2的情況,則由 \( x \equiv -84a - 140b + 120c + 105d (mod 420)\) 直接構造了解的存在性
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