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正整數x除以10、12、14所得餘數都是質數,求x的所有可能解

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正整數x除以10、12、14所得餘數都是質數,求x的所有可能解

x是未滿420的正整數,x除以10、12、14所得餘數分別是r_1、r_2、r_3,且r_1、r_2、r_3為兩兩相異的質數,求x的所有可能解。謝謝!

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回復 2# tsusy 的帖子

請問「x=-84a-140b+120c+105d 模420」是利用中國剩餘定理嗎?
如果只求符合條件的x有「幾個」,而不管x的實際值,請問有無算式可算出答案是27個?
謝謝!

[ 本帖最後由 克勞棣 於 2021-3-26 12:35 編輯 ]

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回復 4# tsusy 的帖子

「模 14, r_3可為 3,5,7,13」這一句,寸絲老師是否筆誤少寫了11?

另外再請教,為什麼每一組 (r_1, r_2, r_3) 都恰好對應「一個 」x 的解呢?
(1)為什麼同一組 (r_1, r_2, r_3)不可能對應「2個以上」 x 的解?
(2)為什麼不會有某一組 (r_1, r_2, r_3)對應「0個」 x 的解(亦即沒有任何x可以滿足這組餘數數對)?

對於(1),在下的想法是
設x_1, x_2都滿足某一組 (r_1, r_2, r_3),則易知 |x_1 - x_2 | 是10的倍數(因為它們除以10有相同餘數), 同理,|x_1 - x_2 | 是12的倍數且是14的倍數,
所以 |x_1 - x_2 |是[10, 12, 14]=420的倍數,
但x_1與 x_2被侷限在1,2,3,4,.....,419之中,
所以只能  |x_1 - x_2 |=0,故x_1 - x_2=0,即x_1=x_2,所以一組 (r_1, r_2, r_3)不可能對應「2個以上」 x 的解。

對於(2),在下的想法是
任何一個 x 除以10都恰好有一個餘數,x 除以12、除以14也是一樣恰好有一個餘數,所以任何一個 x 都恰好對應一組餘數數對,但這與質數有什麼關係?我想不下去了。
盼解惑,再次感謝!

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