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求數字不同可被36整除的8位數

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求數字不同可被36整除的8位數

小弟在FB「國小數學討論區」看到一題,試做後發現第三題不簡單,因為沒有答案,想到這裡高手如雲,提供我的做法,請各位先進不吝指教,謝謝。

Q
從0、1、2、3、4、5、6、7、8、9這10個數中,選8個不同的數字排成一個可被36整除的8位數。則此8位數:
一、        最小為多少?
二、        最大為多少?
三、        共有幾個?
Ans:
可被36整除,必為9或4的倍數。
(1)        先考慮9的倍數,因為0+1+2+…+9為倍數,所以沒選的兩數必為(0,9)、(1,8)、(2,7)、(3,6)、(4,5)之一。
(2)        再考慮4的倍數,即末兩位必為4的倍數。

一、        先試排前4位可得1023,但第5位不為4,否則無法為4的倍數,可知沒選的兩數必為4,5,再排6、7、8、9可得10237968為最小。

二、        先試排前4位可得9876,但第5位不為5,否則無法為4的倍數,可知沒選的兩數必為4,5,再排0、1、2、3可得98763120為最大。

三、        先考慮末兩位可分成
(一)04、08、20、40、60、80此6組,每組各有3組不能選的數字,剔除後剩下6個數字,其排列有720種,共6X3X720=12960個。

(二)12、16、24、28、32、48、52、56、64、68、76、84此12組,每組各有3組不能選的數字,2組有0,        其排列有600種,另1組沒0,其排列有720種,共12X(2X 600+720)=23040個。

(三)36、72此2組,每組各有4組不能選的數字,3組有0,其排列有600種,另1組沒0,其排列有720種,共2X( 3 X 600+720)=5040個。

(四)92、96此2組,每組各有3組皆有0不能選的數字,   其排列有600種,共2X3X600=3600個。

由(一)(二)(三)(四)則共有44640個

[ 本帖最後由 iammark 於 2021-2-1 17:43 編輯 ]

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回復 1# iammark 的帖子

最小應是 10237896

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回復 1# iammark 的帖子

Ans: (寫程式算的)
(1) 最小 10237896
(2) 最大 98763120
(3) 共有 44640 個

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回復 1# iammark 的帖子

原題只有最大,另兩題您自己出的吧?

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回復 2# thepiano 的帖子

謝謝thepiano師修正。
您說的沒錯,原題只有最大值。
一時興起,想知道最小值與共幾個,
自己做了之後發現不好做。
因沒答案,所以來求教,也在FB(高中數學討論區)得到高手修正。
沒想到最小值還是寫錯,再次感謝thepiano師。

[ 本帖最後由 iammark 於 2021-2-1 23:03 編輯 ]

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回復 3# Lopez 的帖子

謝謝Lopez老師

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