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計算2.
設自然數\(A=11\ldots122\ldots25\),由\(n\)個1,\((n+1)\)個2,以及1個5所組成。試證明\(A\)是一個完全平方數。
[解答]
我們將證明:\( A=(33\ldots35)^{2} \),由 \( n \) 個 3, 1 個 \( 5 \) 組成。
令 \( m=n+1 \)
\(\displaystyle (\frac{10^{m}-1}{3}+2)^{2}=\frac{10^{2m}-2\cdot10^{m}+1}{9}+4\cdot\frac{10^{m}-1}{3}+4 \)
\(\displaystyle =\frac{10^{2m}+10^{m+1}-11}{9}+4=\frac{10^{2m}-1}{9}+\frac{10^{m+1}-1}{9}+3 \)
其中 \(\displaystyle \frac{10^{2m}-1}{9} = \frac{99\cdots9}{9}=11\cdots1 \),由 \( 2m \) 個 1 組成。
\(\displaystyle \frac{10^{m+1}-1}{9} = \frac{99\cdots9}{9}=11\cdots1 \),由 \( m+1 \) 個 1 組成。
故 \(\displaystyle (33\ldots35)^{2} = (\frac{10^{m}-1}{3}+2)^{2} = A \)