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105台中一中科學班入學試題

回復 1# satsuki931000 的帖子

第 1 題
從正整數1、2、3、…、2016中,至少要取出多少個不同的數才保證其中有一個數是105的倍數?
[解答]
1 ~ 2016 有 19 個 105 的倍數,1997 個非 105 的倍數
所以最少取 1997 + 1 個,一定可取到 105 的倍數

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回復 1# satsuki931000 的帖子

第 14 題
串校舉辦五子棋賽,共有\(n\)名女學生及\(19n\)名男學生參賽(\(n\)為正整數),每名選手都與其餘\(20n-1\)名選手各對局一次。計分方式為:勝者得2分,負者得0分,和局各得1分。比賽結束後統計發現,男學生得分總和為女學生總和的9倍,則\(n\)的所有可能值總和為   
[解答]
\(20n\)個人總共比了\(\displaystyle \frac{20n\left( 20n-1 \right)}{2}=10n\left( 20n-1 \right)\)場
總得分\(20n\left( 20n-1 \right)\)分
由於男生的總得分是女生的 9 倍,故女生的總得分是\(2n\left( 20n-1 \right)\)分

\(n\)個女生總共比了\(19n\times n+\frac{n\left( n-1 \right)}{2}=\frac{39{{n}^{2}}-n}{2}\)場
女生最高得分是\(39{{n}^{2}}-n\)分

\(\begin{align}
  & 39{{n}^{2}}-n\ge 2n\left( 20n-1 \right) \\
& {{n}^{2}}\le n \\
& n=1 \\
\end{align}\)

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回復 6# nanpolend 的帖子

第 7 題
投擲一枚公正骰子三次,其三次點數恰為等差數列的機率   
[提示]
考慮公差為 0,1,-1,2,-2

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