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109西松高中(新增官方版試題)

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109西松高中(新增官方版試題)

請問填充第 1, 3, 7 題

[ 本帖最後由 Superconan 於 2020-7-25 00:41 編輯 ]

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109-教甄試題-數學科.pdf (505.97 KB)

2020-7-25 00:41, 下載次數: 429

109-教甄試題-數學科(解答).pdf (591.75 KB)

2020-7-25 00:41, 下載次數: 64

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6.
設\(x\)為實數,則函數\(f(x)=\sqrt{x^4-x^2-4x+5}-\sqrt{x^4-3x^2+4}\)的最大值為   
[提示]
\(\sqrt{(x-2)^2+(x^2-1)^2}-\sqrt{(x-0)^2+(x^2-2)^2}\)

8.
求從等差數列\(5,7,9,11,\ldots,23\)中任取二個數相乘後所得之數的總和為   
[提示]
\((5+7+9+11+\ldots+23)^2=(5^2+7^2+9^2+11^2+\ldots+23^2)+2(兩兩相乘)\)

設方程式\( x^8+a_7 x^7+a_6 x^6+...+a_1 x+a_0=0 \)之解集合為{1,2,3,4,5,6,7,8},求\( a_6= \)?
[提示]
\( (1+2+3+4+5+6+7+8)^2=(1^2+2^2+3^2+4^2+5^2+6^2+7^2+8^2)+2(兩兩相乘) \)
98桃園高中聯招,https://math.pro/db/viewthread.php?tid=826&page=1#pid1580

二、計算證明題
設數列\(\langle\;a_n \rangle\;\),\(a_1=1\),\(a_{n+1} = 2 a_n + n - 1\) ,\(n=1,2,3 \ldots\) ,求數列的一般項\(a_n\)(以\(n\)表示)。
[提示]
\(a_{n+1}+a(n+1)+b=2(a_n+an+b)\),得\(a=1,b=0\)
(我的教甄準備之路 數列一般項,https://math.pro/db/thread-661-3-1.html)

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填充1.

\(\displaystyle y=\frac{1}{4}x^2\),\(\displaystyle y'=\frac{1}{2}x\)
設 \(A(2a, a^2),~B(2b, b^2)\),
則過 A 點的切線斜率為 a,切線為 \(ax-y=a^2\),同理,過 B 點的切線為 \(bx-y=b^2\)
兩直線解聯立可得交點 \(P(a+b, ab)\),即 \(x=a+b,~y=ab\)
則可推知 \(a^2+b^2=x^2-2y\),且 \((a-b)^2=x^2-4y\)
由 \(\overline{AB}^2=(2a-2b)^2+(a^2-b^2)^2=4\),可得 \((x^2-4y)(x^2+4)=4\)

[ 本帖最後由 royan0837 於 2020-7-5 21:23 編輯 ]

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填充2. 橢圓方程式 \(\displaystyle \frac{(x-2)^2}{4}+\frac{y^2}{2}=1\),拋物線方程式 \(\displaystyle y^2=\frac{1}{2}x\)

填充3.  當 \(\overline{AB}\) 有最小值時,切線為 \(y=ax+b\),試求數對 \((a,b)\)

填充6. \(\sqrt{x^4-x^2-4x+5}-\sqrt{x^4-3x^2+4}\)    (不確定係數)

計算三(2).
設橢圓方程式 \(\displaystyle \frac{(x-1)^2}{25}+\frac{(y+2)^2}{16}=1\),證明 \(\displaystyle e=\frac{c}{a}=\frac{\overline{PF}}{d(P,L)}\),並求出兩條準線方程式。(不確定橢圓的中心點)

--
想請教計算二

[ 本帖最後由 royan0837 於 2020-7-8 18:18 編輯 ]

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回復 1# Superconan 的帖子

手寫稿(等待官方版釋出

[ 本帖最後由 Almighty 於 2020-7-5 23:41 編輯 ]

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109西松高中填充手寫稿.pdf (241.3 KB)

2020-7-5 22:52, 下載次數: 148

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回復 4# royan0837 的帖子

計算2(1)
設I為ABC的內心,可知IP=IQ=IR=r
以下的角度單位為度度量

PQR面積=1/2*r^2*sin(180-A)+1/2*r^2*sin(180-B)+1/2*r^2*sin(180-C)
=1/2*r^2*sinA+1/2*r^2*sinB+1/2*r^2*sinC
=1/2*r^2*(a/2R)+1/2*r^2*(b/2R)+1/2*r^2*(c/2R)

ABC面積=rs=r*(a+b+c)*1/2

兩者下去相除,即可得題目所求 r/2R

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回復 4# royan0837 的帖子

計算證明二 (2)
用尤拉定理,\(\Delta ABC\)的內心為\(I\),外心為\(O\),則\({{\overline{OI}}^{2}}={{R}^{2}}-2Rr\)
\(\begin{align}
  & {{\overline{OI}}^{2}}={{R}^{2}}-2Rr\ge 0 \\
& R\ge 2r \\
& \frac{r}{2R}\le \frac{1}{4} \\
\end{align}\)
等號成立於正三角形時

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回復 1# Superconan 的帖子

填充第7題
易知\({{x}^{3}}+3{{x}^{2}}+6x-8=0\)和\({{y}^{3}}-6{{y}^{2}}+15y-2=0\)都恰有一實根
令兩實根和\(x+y=a\)
展開\({{\left( a-x \right)}^{3}}-6{{\left( a-x \right)}^{2}}+15\left( a-x \right)-2=0\),比較係數,可知\(a=1\)

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計算2.(2)

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2020-7-6 12:41

1594004985695.jpg

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回復 1# Superconan 的帖子

填充第3題
\(P\left( 5\cos \theta ,4\sin \theta  \right)\)
直線\(AB\)之方程式為\(\frac{\cos \theta }{5}x+\frac{\sin \theta }{4}y=1\)
\(\begin{align}
  & A\left( \frac{5}{\cos \theta },0 \right),B\left( 0,\frac{4}{\sin \theta } \right) \\
& \overline{AB}=\sqrt{{{\left( \frac{5}{\cos \theta } \right)}^{2}}+{{\left( \frac{4}{\sin \theta } \right)}^{2}}} \\
& \left[ {{\left( \frac{5}{\cos \theta } \right)}^{2}}+{{\left( \frac{4}{\sin \theta } \right)}^{2}} \right]\left( {{\cos }^{2}}\theta +{{\sin }^{2}}\theta  \right)\ge {{\left( 5+4 \right)}^{2}}=81 \\
\end{align}\)
等號成立於\(\cos \theta =\frac{\sqrt{5}}{3},\sin \theta =\frac{2}{3}\)       
直線\(AB\)之方程式為\(y=-\frac{2\sqrt{5}}{5}x+6\)

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