想請教各位老師們如何證明

[問題四]：令\(Q^{+}\)表正有理數集，\(N\)表自然數集，定義\(f\)：\(N \to Q^{+}\)如下：
\(\displaystyle f(1)=1,f(2n)=f(n)+1,f(2n+1)=\frac{1}{f(2n)}\)。
(a)求證若\(f(x)=f(y)\)則\(x=y\)。
(b)求證對任意\(q \in Q^{+}\)必存在一個自然數\(n\)，使得\(f(n)=q\)。

謝謝，再來研究一下