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連續9項都是質數的等差數列

連續9項都是質數的等差數列

等差數列a, a+d, a+2d,......,a與d都是正整數,且數列的前9項都是質數。
例如數列3499, 3709, 3919, 4129, 4339, 4549, 4759, 4969, 5179,連續9項都是質數。

  1.請證明a≧11。
  2.請證明d是210的倍數。
  (當然,以上兩點都只是構成這種數列的必要非充分條件。)

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回復 2# Lopez 的帖子

抱歉!在下理解的資質比較差,所以您的兩種證法都讓我似懂非懂,容我用自己的話說明一遍,您看對不對?可能會比較冗長,請見諒。
先單獨證明d是7的倍數,2, 3, 5的倍數同理。

第一步:a至少是11
此數列的第(a+1)項是a的(1+d)倍,不為質數。而此數列有9項,故a=2, 3, 5, 7時,皆會使數列中出現合數,與已知各項皆為質數不合,故a至少是11。

第二步:(a,7)=1
若a是7的倍數,則a只能等於7,但這與第一步的結論不合,故a不是7的倍數,即(a,7)=1。

第三步:d是7的倍數
假設d不是7的倍數,即(d,7)=1,
考慮數列前7項a, a+d, a+2d,......., a+6d,
它們都不是7的倍數(因為7的倍數中只有7是質數,但首項已經是11以上,而數列卻越來越大,所以不可能出現7),因此將此連續7項分別除以7,餘數只可能是1, 2, 3. 4, 5, 6其中之一。
共7項,卻只有6種餘數的可能,根據鴿籠原理,必至少有相異2項有相同的餘數,
故設a+xd≡a+yd(mod 7),其中x,y屬於{0,1,2,3,4,5,6}且x≠y,
xd≡yd(mod 7),
(d,7)=1,故兩邊可同除以d,得x≡y(mod 7)
因此(x-y)是7的倍數,但因為0≦|x-y|≦6-0=6,故(x-y)只能等於0,即x=y,但這與假設x≠y矛盾,
故一開始就假設錯誤,亦即d須為7的倍數。
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補充一:
所以事實是,此數列每一項除以7,餘數都相同,仍符合「至少有相異2項有相同的餘數」,但由於不能把xd≡yd(mod 7)的d消掉,所以推不出x=y。
補充二:
反過來說,用類似的方法可以證明:正整數等差數列(不限定每項皆為質數),若公差不是質數p的倍數,則其連續p項分別除以p,所得的餘數必定兩兩相異,且必然有某項是p的倍數。(合數則只在與公差互質時才有此性質)

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回復 4# Lopez 的帖子

咦!怎麼會有這種怪事?我以為使用到鴿籠原理的證明題對您這樣的高手來說應該不是問題。
所以Lopez大師您會不會證明「從1到100的整數中任選51個數,則其中至少有2個數互質」呢?

[ 本帖最後由 克勞棣 於 2020-2-4 12:08 編輯 ]

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