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連續9項都是質數的等差數列

回復 1# 克勞棣 的帖子

證法1
閣下以前在其他論壇問過類似題(也是我證的),請參考:
http://www.mathland.idv.tw/forum ... 43037&bname=ASP
將該類似題的證法用來證此題,需略修改(1),
其次(2)要補上 mod 7 的6*6表格.

證法2
(1)
假設 a < 11 , 又a是質數, 因此 a = 2, 3, 5, 7
( a + ad )在此數列的前9項中, 且 a+ad = a(1+d) 非質數,矛盾.
故假設 a < 11 是錯的,因此 a ≥ 11
(2)
令 P = { 2, 3, 5, 7 } , M = { 1, 2, ... , p-1 } , 設 p ∈ P
則 a ≠ 0 ( mod p )  ( 註解1)
故可設 a ≡ b ( mod p ) , 其中 b ∈ M
假設 d ≠ 0 ( mod p )
故可設 d ≡ c ( mod p ) , 其中 c ∈ M

Q: 若 a + xd ≡ 0 ( mod p ) ,則 x 的整數解是否存在?
Ans: 是. 原因如下.
a + xd ≡ b + cx ≡ 0 ( mod p )
cx ≡ -b ( mod p ) 為線性同餘方程
因為c為M中的元素,所以 gcd( c , p ) = 1 , 因此 gcd( c , p )|-b
故x 的整數解恰有1個,在完全剩餘系M中. (請參考維基百科"線性同餘方程")
即 a + xp 在此數列的前9項中

因為 a + xd ≡ 0 ( mod p ) , 又 a ≥ 11
所以 a + xp 不是質數,矛盾.
因此假設 d ≠ 0 ( mod p ) 是錯的, 即 d ≡ 0 ( mod p )
因此 d 除以 2, 3, 5, 7 皆餘0, 即 d 是210的倍數,得證.
( 證法2可推廣到更多連續項,d更大的情況,如: d = 2*3*5*7*11 , 2*3*5*7*11*13 , ..... )

註解1
claim: a ≠ 0 ( mod p )
pf : 假設 a ≡ 0 ( mod p )
則 a = np , 其中 n 為正整數
當 n = 1 , a = p ≤ 7 , 與 a ≥ 11 矛盾.
當 n ≥ 2 , a = np = 合數 , 與 a為質數矛盾.
故得證.

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回復 3# 克勞棣 的帖子

抱歉,我有"鴿籠原理障礙"(只能"看"懂原理本身,卻從來不會應用,也就是不算完全理解),
因此沒資格評論您的證法.

基本上,我是用線性同餘方程的性質作為核心證明的依據.

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回復 5# 克勞棣 的帖子

我從來就不是高手,頂多只能算是工兵型的解題者,只會解一般的題目.
困難的題目就交給真正的高手吧,至少這個網站還有不少這樣的高手!!
數學是非常需要天份( IQ > 140 )的學科,坦白說,這樣的天份我沒有...

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